第6章 集合代数
6.1 集合的基本概念
集合中的关系：
元素和集合之间：属于或不属于。
集合与集合之间：包含被包含，子集，真子集，空集，幂集。
6.2 集合的运算
集合的基本运算：
并、交、相对补、对称差、绝对补
VN图（文氏图）表示：
6.3 有穷集的计数
包含排斥原理：
书上一个很经典也很能体现包含排斥原理的例子：
（例子图）
包含排除原理很好解这种满足多条件（性质），条件（性质会重叠的解问题，先找出全集的所有元素，再将每个元素满足一个条件（性质）元素个数找出，再将满足两个条件（性质）元素个数找出，以此类推做差求和求解。
6.4 集合恒等式
集合恒等式有很多，其中我认为会比较常用的且比较基础的有交换律、结合律、分配律、同一律、零律、吸收律和德摩根律。以下为书上的主要算律展示：
（附图片）
第7章 二元关系
7.1 有序对与笛卡儿积
有序对（序偶）定义：
由两个元素x和y（允许x=y）按照一定顺序排列成的二元组。说人话就是：
<x, y> 长这样，x是第一元素，因为它在前面；y是第二元素。
有序对<x, y> 性质：
简单地说：
1. 当x != y，<x, y> != <y, x>
2. <x, y> = <u, v> 充要条件是x=u，y=v
笛卡儿积：
人话：
设A = {a, b}，B = {0, 1, 2}
A X B = { <a, 0>, <a, 1>, <a, 2>, <b, 0>, <b, 1> <b, 2> }
观察规律发现用A中的元素作为第一元素与B中元素作为第二元素的所有结果。所以这样就会有一个性质：A X B != B X A。B X A 则应当将A X B 中的每个序偶调换第一和第二元素。这个性质的前提是A，B都不为空集且A与B不相等。而由前提又可以得出另一个性质：
对任意集合A，有 A X ∅= ∅
7.2 二元关系
二元关系满足条件：
- 集合非空，且它的元素都是有序对（序偶）；
例如：{<x, y>,<y, z>}是有序对，{<x, y>, z}不是有序对。
2. 集合是空集；
书上的二元关系：
EA : 定义A上的全域关系，其中元素满足 EA = A X A
IA ：定义A上的恒等关系，其中元素满足 IA = {<x, x>|x∈A}
LA：定义A上的小于等于关系，其中元素满足 LA = {<x, y>|x<=y}
DA：定义A上的整除关系，大体同上，字面意思理解，a|b的意思是b能被a整除，如2|4 表示4能被2整除
R⊆：定义A上的包含关系，可能比较难理解，这里举例：A中的元素有例如：{∅{a}, {b}, {a,b}}, 则R⊆中的一个元素长这样：<{a}, {a,b}> 第一元素被包含于第二元素，或者说第二元素包含第一元素，这就是包含关系。特殊地，如果包含关系内有空集，则空集被包含于所有元素（包括空集本身）
关系矩阵：
话不多说，直接上图：
关系图：
上图：
7.3 关系的运算
三种域：
定义域与值域和域：
还是上图（狠狠地爱上上图了，家人们谁懂啊（乐））：
逆关系：
不用多说，直接理解：
R-1 = {<x, y>|<y, x> ∈R}，就这样
右复合：
很像后面要说的传递关系：
G对F的右复合，记作F G = {<x, y>|∃t(<x, t> ∈F⋀<t, y> ∈G)}
关系的次幂：
挺有意思的，书上是这样写的：
其中，IA是恒等关系，就是里面的第一元素与第二元素相等。IA 的关系矩阵毫无疑问是单位阵，可以试试通过上面的方法来动手写一下IA 的关系矩阵
我们可以通过关系矩阵的次幂的运算得知关系的次幂的关系，这么说可能有点绕，那么上图：
可以看出，M4 之后的运算会进入循环，以此类推得出R2以后的运算会进入循环。
7.4 关系的性质
自反和反自反：
说人话，看图：
对称和反对称：
传递：
7.5 关系的闭包
主要是Warshall算法，这里跳过，网上各路大神都有很好的讲解，自己理解并不是很到位，这里不细讲。
7.6 等价关系与划分
等价关系：
一个很好的例子：
自反性：<0，0> <1，1> <2，2> <4，4> 等
对称性：<0，4> <4，0> <0，8> <8，0> 等
传递性：<0，4> <4，8> <1，5> <5，9> 等
三种性质都满足，所以R是A上的等价关系。
要证明等价关系，则要从三种性质入手，分别证明满足三种性质，最后得到等价关系的结论。
商集的定义：
划分与划分块：
由图可知，划分就是大圆，划分块就是大圆里被线分割的块块。类似于分蛋糕。
7.7 偏序关系：
偏序关系的定义：
图截自百度，比书上简洁。
两个例子：
通过图7.8我们可以分析出极小元，极大元，最小元和最大元。
如图：
- a是孤立点，所以它既是极小元也是极大元。
- 其它极小元：b，c，g；其它极大元：f，h。
- 没有最小元与最大元，因为这两个都是唯一的。如果把图中h去掉，就会有f是最大元，g成了孤立点；再将c去掉就得到b是最小元。
再来：
所以没事儿多看书，书上有的东西说的也挺明白的。