[APIO2012] 派遣
题目背景
在一个忍者的帮派里，一些忍者们被选中派遣给顾客，然后依据自己的工作获取报偿。
题目描述
在这个帮派里，有一名忍者被称之为 Master。除了 Master 以外，每名忍者都有且仅有一个上级。为保密，同时增强忍者们的领导力，所有与他们工作相关的指令总是由上级发送给他的直接下属，而不允许通过其他的方式发送。
现在你要招募一批忍者，并把它们派遣给顾客。你需要为每个被派遣的忍者支付一定的薪水，同时使得支付的薪水总额不超过你的预算。另外，为了发送指令，你需要选择一名忍者作为管理者，要求这个管理者可以向所有被派遣的忍者发送指令，在发送指令时，任何忍者（不管是否被派遣）都可以作为消息的传递人。管理者自己可以被派遣，也可以不被派遣。当然，如果管理者没有被排遣，你就不需要支付管理者的薪水。
你的目标是在预算内使顾客的满意度最大。这里定义顾客的满意度为派遣的忍者总数乘以管理者的领导力水平，其中每个忍者的领导力水平也是一定的。
写一个程序，给定每一个忍者 \(i\) 的上级 \(B_i\)，薪水 \(C_i\)，领导力 \(L_i\)，以及支付给忍者们的薪水总预算 \(M\)，输出在预算内满足上述要求时顾客满意度的最大值。
输入格式
第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(M\)，其中 \(N\) 表示忍者的个数，\(M\)表示薪水的总预算。
接下来 \(N\) 行描述忍者们的上级、薪水以及领导力。其中的第i行包含三个整数 \(B_i,C_i,L_i\) 分别表示第 \(i\) 个忍者的上级，薪水以及领导力。Master 满足 \(B_i=0\)，并且每一个忍者的老板的编号一定小于自己的编号 \(B_i\lt i\)。
输出格式
一行一个整数，表示在预算内顾客的满意度的最大值。
样例 #1
样例输入 #1
5 4
0 3 3
1 3 5
2 2 2
1 2 4
2 3 1
样例输出 #1
6
提示
\(1 \le N \le 10^5\)，\(1 \le M \le 10^9\)，\(0 \le B_i \lt i\)，\(1 \le C_i \le M\)，\(1 \le L_i \le 10^9\)。
对于 \(30\%\) 的数据，\(N \le 3000\)。
解题思路
简单来说，就是找出一些总代价小于 \(m\) 的树上节点，使得他们的数量乘上他们的 \(LCA\) 的价值最大。
很明显，对于一个节点，若将它作为 \(LCA\) ，那么要选出最多的节点，要使每一个节点的代价尽可能的小。
所以我们需要求出一个子树内最多能选出多少个总共代价和小于 \(m\) 的节点。
那这就可以用可并堆了。
我们将每一个节点开始时都看做一个堆，一开始一共 \(n\) 个堆，每次向上合并时都将儿子节点的堆合并到自己的堆里面。
每次合并完后将堆里面最大的节点给去掉，直到堆代价和小于 \(m\) 为止，因为这样做是可以保证选出来尽量多的数。
每次删完后，取堆里节点个数乘上该节点的价值的最大值即可。
时间复杂度 \(O(nlogn)\) 。
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,d[100005],v[100005],root,s,size[100005],sum[100005];
long long f[100005],lc[100005],rc[100005],dist[100005];
vector<long long> a[100005];
long long dijah(long long x)
{
if(f[x]!=x)f[x]=dijah(f[x]);
return f[x];
}
long long merge(long long x,long long y)
{
if(x==0)return y;
if(y==0)return x;
if(v[x]<v[y])swap(x,y);
rc[x]=merge(rc[x],y);
f[rc[x]]=x;
if(dist[lc[x]]<dist[rc[x]])swap(lc[x],rc[x]);
if(rc[x]!=0)dist[x]=dist[rc[x]]+1;
else dist[x]=0;
return x;
}
void dfs(long long x,long long y)
{
long long q,w;
size[x]=1;
sum[x]=v[x];
for(int i=0;i<a[x].size();i++)
{
if(a[x][i]==y)continue;
dfs(a[x][i],x);
q=dijah(x);
w=dijah(a[x][i]);
size[q]=size[w]=size[q]+size[w];
sum[q]=sum[w]=sum[q]+sum[w];
f[q]=f[w]=merge(q,w);
}
while(sum[dijah(x)]>m)
{
q=dijah(x);
size[lc[q]]=size[rc[q]]=size[q]-1;
sum[lc[q]]=sum[rc[q]]=sum[q]-v[q];
f[lc[q]]=f[rc[q]]=merge(lc[q],rc[q]);
f[q]=lc[q];
}
s=max(s,size[dijah(x)]*d[x]);
return;
}
int main()
{
dist[0]=-1;
long long x;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&x,&v[i],&d[i]);
if(x!=0)a[x].push_back(i),a[i].push_back(x);
else root=i;
}
dfs(root,0);
cout<<s;
return 0;
}