第1章-数字
1.4-自然数的结构
\[f(n) = foldn(c,h)(n)
\]
我对这个符号的理解是,以c为初始值,对初始值进行n次的h操作。
许多东西都可以由这个记号定义,例如自然数序列:
取 \(n = 0, h = succ\) (succ表示后继),则
n | f |
---|---|
0 | 0 |
1 | succ(0) = 1 |
2 | succ(succ(0)) = 2 |
3 | succ(succ(succ(0))) = 3 |
... | ... |
而对于这个记号,更重要的是它描述了与自然数同构的某种事物。
比如定义操作 \((+m)\) :
\[(+m) = foldn(m, succ)
\]
则
n | (+m) |
---|---|
0 | m |
1 | succ(m) = 1+m |
2 | succ(succ(m)) = 2+m |
3 | succ(succ(succ(m))) = 3+m |
... | ... |
定义操作 \((· \ m)\) :
\[(\cdot \ m) = foldn(0, (+m))
\]
则
n | (· m) |
---|---|
0 | 0 |
1 | 0 + m = m |
2 | 0 + m + m = 2m |
3 | 0 + m + m + m = 3m |
... | ... |
定义操作 \(m^{( \ )}\) :
\[m^{( \ )} = foldn(1, (\cdot \ m))
\]
则
n | \(m^{( \ )}\) |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 · m = m |
2 | 1 · m · m = m² |
3 | 1 · m · m · m = m³ |
... | ... |