CF434E Furukawa Nagisa's Tree
洛谷：CF434E Furukawa Nagisa's Tree
Codeforces：CF434E Furukawa Nagisa's Tree
Problem
冈崎朋也要送古河渚一棵点带点权的树。给定常数 \(k, x, y\)，其中保证 \(y \le 10^9\)，\(y\) 是质数，\(0 \le x < y\)，\(1 \le k < y\)。
记\(S(s, e)\) 表示从 \(s\) 出发到 \(e\) 的简单路径，并定义 \(G(S(s, e)) = \sum\limits_{i = 0}^{|S(s, e)| - 1}k^{i}v_{i}\)。
如果 \(G(S(s, e)) \equiv x \pmod{y}\)，则路径 \(S(s, e)\) 属于小渚，否则属于朋也。
由于小渚旷了一学期的课，她以为如果路径 \(S(p_1, p_2)\) 和 \(S(p_2, p_3)\) 都属于某个人，则 \(S(p_1, p_3)\) 也属于那个人。
很显然这是不一定正确的。请你求出有多少个三元组 \((p_1, p_2, p_3)\) 满足小渚的预测。
Solution
此题最快的解法（雾）
记 \(f(s, t)\) 表示 \([G(S(s, t)) \equiv x \pmod{y}]\)，则答案可以直接写成：
\[\begin{aligned}
ans &= \sum\limits_{p_1 = 1}^{n}\sum\limits_{p_2 = 1}^{n}\sum\limits_{p_3 = 1}^{n}[f(p_{1}, p_{2}) = f(p_{2}, p_{3}) = f(p_{1}, p_{3})] \\
&= \sum\limits_{p_1 = 1}^{n}\sum\limits_{p_2 = 1}^{n}\sum\limits_{p_3 = 1}^{n}([f(p_{1}, p_{2}) = f(p_{2}, p_{3}) = f(p_{1}, p_{3}) = 1] + [f(p_{1}, p_{2}) = f(p_{2}, p_{3}) = f(p_{1}, p_{3}) = 0]) \\
&= \sum\limits_{p_1 = 1}^{n}\sum\limits_{p_2 = 1}^{n}\sum\limits_{p_3 = 1}^{n}( f(p_{1}, p_{2})f(p_{2}, p_{3})f(p_{1}, p_{3}) + (1 - f(p_{1}, p_{2}))(1 - f(p_{2}, p_{3}))(1 - f(p_{1}, p_{3}))) \\
&= \sum\limits_{p_1 = 1}^{n}\sum\limits_{p_2 = 1}^{n}\sum\limits_{p_3 = 1}^{n}(1 - f(p_{1}, p_{2}) - f(p_{2}, p_{3}) - f(p_{1}, p_{3}) + f(p_{1}, p_{2})f(p_{2}, p_{3}) + f(p_{1}, p_{2})f(p_{1}, p_{3}) + f(p_{2}, p_{3})f(p_{1}, p_{3})) \\
\end{aligned}
\]
令 \(a_{u} = \sum\limits_{v = 1}^{n}f(v, u)\)，\(b_{u} = \sum\limits_{v = 1}^{n}f(u, v)\)（实际上有 \(\sum\limits_{u = 1}^{n}a_{u} = \sum\limits_{u = 1}^{n}b_{u}\)）。则答案可以表示为：
\[\begin{aligned}
ans = n^{3} - 3n\sum\limits_{u = 1}^{n}a_{u} + \sum\limits_{u = 1}^{n}(a_{u}b_{u} + a_{u}^{2} + b_{u}^{2}) \\
\end{aligned}
\]
于是现在只需要求出所有 \(a_{u}, b_{u}\)。
这是容易用点分治解决的，用 map 存一下即可。
时间复杂度 \(O(n\log^{2}{n})\)。
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