给定整数 n
,返回 所有小于非负整数 n
的质数的数量 。
示例 1:
输入:n = 10 输出:4 解释:小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。
示例 2:
输入:n = 0 输出:0
示例 3:
输入:n = 1 输出:0
先上本题做法:(直接用2到sqrt的是过不了的,数据上来就会超时,本题采用欧拉筛,后面会介绍几种求质数的方法)
static bool is_not_p[5000001]; //偷懒写法,因为static在内存中自动用0填充,如果多次运行一定记得初始化为0 vector<int> primes; class Solution { public: void isPrime(int num){ for(int i=2;i<=num;i++){ if(!is_not_p[i]){ primes.push_back(i); // cout<<i; } for(int p : primes){ if(p*i>num) break; is_not_p[p*i]=true; if(i%p==0) break; //保证被最小因数筛掉,每个数会且只会被筛一遍 } } } int countPrimes(int n) { int ans=0; isPrime(n); for(int i=2;i<n;i++){ if(!is_not_p[i]) { // cout<<i<<endl; ans++; } } return ans; } };
介绍一下几种素数筛:
一、埃氏筛法
首先将2到n范围内的所有整数写下来。其中最小的数字2是素数。将表中所有2的倍数都划去。表中剩余的最小数字是3,他不能被更小的数整除,所以3是素数。再将表中所有3的倍数都划去。如果表中剩余的最小数字是m时,m就是素数。然后将m的倍数都划去。依次类推,反复操作,就能依次枚举出n以内的素数
时间复杂度:
O(n*log(logn))
代码如下:
int prime[MAXN];//第i个素数 bool is_prime[MAXN+1];//is_prime[i]为true时表示i为素数 void init(){ int p=0; for(int i=0;i<n;i++){ is_prime[i]=true; } is_prime[0]=is_prime[1]=false; for(int i=2;i<=n;i++){ if(is_prime[i]){ prime[p++]=i; for(int j=2*i;j<=n;j+=i){ is_prime[j]=false; } } } }
二、区间筛法
如:在区间[a,b)内有多少个素数 素数判定中,如果d是n的约数,那么n/d也是n的约数。由n=d * n / d可知min(d,n/d)<=n\sqrt{n}n
时间复杂度:
O(n√n)
代码如下:
typedef long long ll; bool is_prime[MAXN];//is_prime[i-a]=true <=> i是素数 bool is_prime_small[MAXN]; //对区间[a,b)内的整数筛选素数。 void segment_sieve(ll a,ll b){ for(int i=0;(ll)i*i<b;i++) is_prime_small[i]=true; for(int i=0;i<b-a;i++) is_prime[i]=true; for(int i=2;(ll)i*i<b;i++){ if(is_prime_small[i]){ //筛[2,根号b) for(int j=2*i;(ll)j*j<b;j+=i) is_prime_small[j]=false; //筛[a,b) for(int j=max(2LL,((a+i-1)/i)*i;j<b;j+=i) is_prime[j-a]=false; } } }
三、欧拉筛法(线性筛法)
欧拉筛,也叫线性筛,可以在 O(n)时间内完成对2~n的筛选。它的核心思想是:让每一个合数被其最小质因数筛到。
感觉欧拉筛法和埃氏筛法的原理类似…但是欧拉筛法更减少了没有必要的计算,就是增加了处理:每一个被筛掉的数都必须是被它的最小质因子筛掉,为了保证这一点,增添了如下代码:
if(i % prime2[k] == 0)//确保是最小质因数 { break; }
时间复杂度:
O(n)
完整的算法代码如下:
bool isnp[MAXN]; vector<int> primes; // 质数表 void init(int n){ for (int i = 2; i <= n; i++){ if (!isnp[i]) primes.push_back(i); for (int p : primes){ if (p * i > n) break; isnp[p * i] = 1; if (i % p == 0) break; } } }
也可以:
const int N = 1000010; int primes[N], cnt=0; // primes[0]~primes[cnt-1]存储的是0~n中所有的质数(从小到大) bool st[N]; // st[i] == true说明i不是质数 // 线性选法,时间复杂度:O(n) void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i++) { if (!st[i]) primes[cnt++] = i; for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) { st[primes[j] * i] = true; if (i % primes[j] == 0) break; } } }
参考:
https://juejin.cn/post/7085310292237762574
https://juejin.cn/post/7129079647928582175