一道复数题-526互联

复数\(e,f,g,h\)互不相同，且是实系数多项式\(F(z)=z^4-3z^3-2pz+q\)的根
并且\(ef+gh\)是纯虚数。
1.证明：e,f,g,h中有两个是共轭虚数，其它是实数。
根据实多项式共轭定理，如果\(x\)是多项式的根，\(x\)不是实数，则\(x\)的共轭是多项式的根。
反证法，假设\(e,f,g,h\)都是虚数，且\(e,f\)共轭，\(g,h\)共轭，\(e=a+bi,g=c+di\)
\(ef+gh=a^2+b^2+c^2+d^2\)是实数，矛盾
假设\(e\)和\(g,h\)中的一个共轭，设为\(g\)（\(h\)同理）设\(e=a+bi,f=c+di\)
\(ef+gh=ac+(bc+ad)i-bd+ac-(bc+ad)i+bd=2ac+2bd\)是实数，矛盾。
所以\(e,f,g,h\)中有两个实数，两个共轭虚数
2.求出\(p,q\)之间的关系式
假设\(e,f\)是实数，\(g,h\)是共轭虚数，\(g=a+bi\)，\(ef+gh=a^2+b^2+ef\)是纯实数，矛盾
所以\(e,f\)，\(g,h\)中恰有一个实数，设\(e=x1,g=x2\)是实数，\(f=a+bi\)
\(ef+gh=x1(a+bi)+x2(a-bi)=x1a+x2a+i(x1b-x2b)\)，\((x1+x2)a=0\)
\(F(z)=(z-x1)(z-x2)(z-f)(z-h)=(z^2-(x1+x2)z+x1x2)(z^2-2az+a^2+b^2)\)
\(F(z)=z^4-(x1+x2-2a)z^3+z^2(x1x2+2a(x1+x2)+a^2+b^2)-z((x1+x2)(a^2+b^2)+2ax1x2)+x1x2(a^2+b^2)\)
所以\((x1+x2-2a)=3,(x1x2+2a(x1+x2)+a^2+b^2)=0\)
所以\(x1+x2=3+2a,x1x2+2a(3+2a)+a^2+b^2=0,x1x2=-6a-5a^2-b^2\)
\(-2p=(x1+x2)(a^2+b^2)+2ax1x2=(3+2a)(a^2+b^2)+2a(-6a-5a^2-b^2)=3b^2-9a^2-8a^3\)
\(q=x1x2(a^2+b^2)=(-6a-5a^2-b^2)(a^2+b^2)=-6a^3-6ab^2-5a^4-6b^2a^2-b^4\)
\((x1+x2)a=0,3a+2a^2=0\)
如果\(a=0,q=-b^4,-2p=3b^2,4p^2=9b^4=-9q\)
如果\(x1+x2=0,a=\frac{3}{2},x1x2=-a^2-b^2=-b^2-\frac{9}{4}\)
\(-2p=(x1+x2)(a^2+b^2)+2ax1x2=2a(-b^2-\frac{9}{4})=3(b^2+\frac{9}{4})\)
\(q=x1x2(a^2+b^2)=(-b^2-\frac{9}{4})(\frac{9}{4}+b^2)=-(\frac{9}{4}+b^2)^2\)
所以\(4p^2=9(b^2+\frac{9}{4})^2=-9q\)
所以\(4p^2+9q=0\)成立
3.在复平面上画出\(e+f\)的取值范围
\(e+f=x1+a+bi\)
如果\(a=0,e+f=x1+bi,x1+x2=3,x1x2=-b^2,x1,x2\)是方程\(x^2-3x-b^2\)的两个根
判别式\(9+4b^2>0,x1^2-3x1-b^2=0,(x1-\frac{3}{2})^2-b^2=\frac{9}{4}\)是双曲线
如果\(a=-\frac{3}{2},x1+x2=0,x1x2=-b^2-\frac{9}{4},e+f=x1-\frac{3}{2}+bi\)
\(x1,x2\)是方程\(x^2-b^2-\frac{9}{4}=0\)的两个根，\(x1^2-b^2=\frac{9}{4}\)也是双曲线