Lecture12-Path Tracing-路径追踪

Lecture12-Path Tracing-路径追踪

路径追踪=光追+蒙特卡洛方法

Ray Casting 光线追踪

通过追踪每个像素的光线，生成图片
通过光线能否到光源，来检查是否是阴影

Ray-surface intersection 射线-表面判交

光线和一个几何体的交点怎么算？对于封闭的几何体，只需要判断交点个数的奇偶性！

所以转换成与三角形网格的交点！（这样会有点慢，后面会有加速结构）

光线和平面

光线方程：

\[\vec r(t)=\vec o+t\vec d (0\leq t<\infty ) \]

平面方程（也写成向量的形式）：$(p-p')\cdot N=0$（过 $p'$ 点，以 $N$ 为法向量）

联立代入，$(o+td-p')\cdot N=0$，得到

\[t=\frac{(p'-o)\cdot N}{d\cdot N} \]

先 check 必要条件 $0\leq t<\infty$

光线和三角形判交——Möller Trumbore算法

先做完上一步，接着判断交点是否在三角形内，

平面是二维流形，对于三角形 $P_0,P_1,P_2$，可以把三角形内的点写成重心坐标的形式：

\[(1-b_1-b_2)P_0+b_1 P_1+b_2 P_2\equiv r(t)=\vec O+t\vec D \]

Möller Trumbore Algorithm：

整理一下：

\[\vec D t+(P_0-P_1)b_1+(P_0-P_2)b_2=P_0-O \]

这里其实就是Cramer法则（乘法对应的是混合积）：

整理系数得到线性方程（左边的行向量其实每个元素都是列向量，所以本质上是 $3\times 3$ 的矩阵）：

\[\begin{bmatrix} \vec D&\vec P_{10}&\vec P_{20} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} t\\b_1\\b_2 \end{bmatrix} =\vec P_0-\vec O \]

左边的行列式认为是混合积 $[\vec D,\vec P_{10},\vec P_{20}]=D\cdot (\vec P_{10}\times \vec P_{20})$ 根据Cramer法则：

\[\begin{bmatrix} t\\b_1\\b_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{[\vec D,\vec P_{10},\vec P_{20}]} \begin{bmatrix} \vec {OP_0}\cdot (\vec P_{10}\times \vec P_{20})\\ \vec D\cdot (\vec{OP_0}\times \vec P_{20})\\ \vec D\cdot (\vec P_{10}\times \vec {OP_0}) \end{bmatrix} \]

和下面写的一大坨式子是一样的，现场推就好了（刚好每项差一个负号，最后全消掉了）：

然后检查 $b_1,b_2,t$ 是否规范（$\geq 0$）即可。

Ray Intersection With Sphere

球：$(p-c)^2=R^2$，代入$r=o+td$，得到$(o+td-c)^2=R^2$，转化成

\[(d\cdot d) t^2+[2(o-c)\cdot d ]t+(o-c)\cdot (o-c)-R^2=0 \]

标准的二次方程。

Ray Intersection With Implicit Surface

光线和隐式曲面求交，即如果有$f(\vec p)=0$，就代入得到 $f(\vec o +t\vec d)=0$。

Bounding Volumes——包围盒er

可以预先处理每个物体的包围盒，判断交点之前先和包围盒进行一次判断。
进一步可以考虑怎么做某一维（$x,y,z$ 方向）的判断（axis-aligned bounding box——坐标轴平行、轴对齐的包围盒），算出每一组面的 $t_{\min},t_\max$ 的区间，再求个交集（$t_{enter} = \max{t_{\min}}, t_{exit} = \min{t_{\max}}$）