2023.6.30 Problem Link
有 \(n\) 个帮派在打架，每个帮派有一个大小 \(a_i\)，每相邻两个帮派有一个仇恨度 \(b_i\)。现在有 \(Q\) 次单点修改 \(a_i\) 或者 \(b_i\)，然后给出区间 \([l,r]\)，询问区间 \([l,r]\) 内的帮派打架后最后剩下的那个帮派是谁。
打架的规则是：每次选出 \(b_i\) 最大的相邻两个帮派打一架，人数较多的帮派获胜（相同则编号较小的获胜），然后败者全部加入胜者的帮派。
一个经典的值域减半思想 + 一个经典的双端点二分思想。
- 时光倒流
这个操作并不优美，考虑时光倒流，每次找到 \(b_i\) 最小的相邻帮派，然后把左边和右边较小的扔掉。
- 值域减半
注意到我们扔掉的是较小的一半，这意味着中间较大的一半会留着。于是就有这么一个类似于“不变量”的东西，只有区间的和减半的时候才会改变。如果我们每次可以“快进”到“不变量”改变的时候，就可以在 \(\log V\) 乘上快进一次的时间内解决问题。
设当前区间和为 \(X\)，则我们希望找出缩小后的区间 \(\le X/2\) 的最早时刻。然后注意到，如果令 \(p\) 为最小的满足 \(\mathrm{sum}[l,p]\ge X/2\) 的点，那么不断缩小中的 \([l,r]\) 会始终包含 \(p\)，直至下一步就会 \(\le X/2\) 为止，然后暴力减半一步。
- 双端点二分
我们开始“二分”这个区间 \([u,d]\)。一个区间怎么二分呢？令 \(u\) 当前的区间范围为 \([l_u,r_u]\)，\(d\) 当前的区间范围为 \([l_d,r_d]\)，我们希望每次“二分”将 \([l_u,r_u]\) 或者 \([l_d,r_d]\) 缩小一半。考虑找出 \(mid_u\) 和 \(mid_v\)，然后分 \(\mathrm{sum}[mid_u,mid_v]\) 讨论。
如果 \(\mathrm{sum}[mid_u,mid_v]\le X/2\)，此时不妨设 \(\min[mid_u,r_u]<\min[l_d,mid_d]\)，那么如果在 \([l_d,mid_d]\) 中砍了一刀，那 \([mid_u,r_u]\) 之间也一定被砍了一刀，那 \(d\in[l_d,mid_d]\) 一定不合法，于是 \(d\) 可以往右边递归；
如果 \(\mathrm{sum}[mid_u,mid_v]> X/2\)，此时不妨设 \(\min[l_u,mid_u]<\min[mid_d,r_d]\)，那么如果在 \([l_u,mid_u]\) 中砍了一刀，那 \([mid_d,r_d]\) 之间也一定被砍了一刀，那 \(d\in[l_u,mid_u]\) 一定不合法（有些边界），于是 \(u\) 可以往右边递归。
无论如何，\(u,d\) 一定有一个可以往一边递归，所以这部分时间复杂度 \(O(\log n)\)。
总时间复杂度 \(O(n\log V\log n)\)。