思维 进制转换 数位DP 无前导0 T3
Problem - 1811E - Codeforces
题目大意
从一个不含有数字4的递增序列中找第k个数并输出。
如 \(1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12\), \(k = 4\) 时输出 \(5\)。
思路1
有一个巧妙的解法：
考虑这个问题, 从一个没有限制的从1开始的递增序列找出第k个数, 显然就是十进制的k。而这里则可以定义新的进制为 "012356789" 9进制, 那么k对应的就是这个特殊的九进制数, 我们只需要把它转换为十进制就行。
二转十：
while(k)
ans += k % 2, k /= 2;
九转十：
while(k)
ans += k % 9, k /= 9;
代码1
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
using LL = long long;
int a[20];
int cnt = 0;
int main()
{
cin.tie(0);
cout.tie(0);
ios::sync_with_stdio(0);
string s = "012356789";
int T;
cin >> T;
while (T--)
{
LL k;
cin >> k;
cnt = 0;
while (k)
a[cnt++] = s[k % 9] - '0', k /= 9;
for (int i = cnt - 1; i >= 0; i--)
cout << a[i];
cout << endl;
}
}
思路2
也可以考虑数位DP, 定义 \(f(i,j)\) 为长度为i, 且最高位为j的数, 可以写出这样的初始化函数来得到 \([1,i]\) 的满足条件的数的个数：
void init()
{
for (int i = 0; i <= 9; i++)
if (i != 4)
f[1][i] = 1;
for (int i = 2; i <= N - 1; i++)
{
for (int j = 0; j <= 9; j++)
{
if (j == 4)
continue;
for (int k = 0; k <= 9; k++)
f[i][j] += f[i - 1][k];
}
}
}
然后再实现查找前缀和 \([1,num]\) 的满足条件的数的个数, 题目中的 \(k\) 最大为 1e12, 直接二分结果, 找最左边且 \(dp(mid) = k\) 的值就是最终结果。
记得要处理前导0, 方法是在首尾不加上0开头的部分, 最后再加一遍所有长度小于 num.size() 的部分。
代码2
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 17;
typedef long long ll;
const ll INF = 1e17;
ll f[N][10];
void init()
{
for (int i = 0; i <= 9; i++)
if (i != 4)
f[1][i] = 1;
for (int i = 2; i <= N - 1; i++)
{
for (int j = 0; j <= 9; j++)
{
if (j == 4)
continue;
for (int k = 0; k <= 9; k++)
f[i][j] += f[i - 1][k];
}
}
}
ll dp(ll x)
{
if (!x)
return 0;
vector<int> nums;
while (x)
nums.push_back(x % 10), x /= 10;
ll res = 0;
for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--)
{
int x = nums[i];
for (int j = (i == nums.size() - 1); j < x; j++)
res += f[i + 1][j];
if (x == 4)
break;
if (!i)
res++;
}
for (int i = 1; i <= nums.size() - 1; i++)
for (int j = 1; j <= 9; j++)
res += f[i][j];
return res;
}
int main()
{
init();
int T;
cin >> T;
while (T--)
{
ll k;
cin >> k;
ll l = -1, r = 1e13;
while (l != r - 1)
{
ll mid = l + r >> 1;
if (dp(mid) < k)
l = mid;
else
r = mid;
}
cout << r << endl;
}
return 0;
}