\\数乘*可省，矩乘*不可省

矩阵

$A_{m*n}=\lgroup a_{ij} \rgroup_{m*n}$

属性

秩：$r(A_{m*n})=\max\limits_{i=0}^n\{m|det(B_m=\lgroup a_{ij} \rgroup_m) \neq 0\}$
- $r(A_{m*n}) \leq \min\{m,n\}$
- $r(A^T)=r(A)$
- $r(kA)=r(A)$
- $r(A)$ 为 $A$ 中非零子式最大阶数
  - $A$ 中不存在 $x$ 阶非零子式 $\Rightarrow r(A)<x$
  - $A$ 中存在 $x$ 阶非零子式 $\Rightarrow r(A) \geq x$
- \[ r(A^*)=\begin{cases} \]
```
1,r(A)=n-1(AA^*=|A|E=0)\\
0,r(A)<n-1(秩的定义)(最大的非零子式阶数)\\
\end{cases}
```
  \[\]
- 矩阵初等行变换前后列向量组中的向量之间线性组合关系不变
列向量组：$\{\vec\beta_i\}_n (A_{m*n}=\lgroup \vec\beta_j \rgroup_n,\vec\beta_j=(a_{ij})_m^T)$
行秩：矩阵行向量组的秩(=矩阵的秩)
列秩：矩阵列向量组的秩(=矩阵的秩)
特征值：$|A-\lambda E|=0$ 的解(重数：方程 $n$ 个可重解中 $\lambda$ 的出现次数)
- 设 $\{\lambda_i\}_n$ 为 $A$ 的特征多项式的解集：(来自 $|A-\lambda E|=\prod\limits_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i)$ )
  1. $\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i=|A|$ ( 取 $\lambda=0$ )
  2. $\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}$ ($\lambda^{n-1}$ 的系数对应相等)
- $|A|=0 \Leftrightarrow 0$ 是 $A$ 的特征值（来自上述结论）
- $A$ 和 $A^T$ 的特征值相同（$A$ 和 $A^T$ 的特征多项式相同）
- $f(x)=\sum\limits_{i=0}^m a_ix^i$:$\lambda$ 是 $A$ 的特征值 $\Rightarrow f(\lambda)$ 是 $f(A)$ 的特征值
  (证明 $A^k\vec\alpha=\lambda^k\vec\alpha \Rightarrow$ 证明 $f(A)\vec\alpha=f(\lambda)\vec\alpha \Rightarrow f(\lambda)$ 是 $f(A)$ 特征值)
- $A$ 可逆：$\lambda$ 是 $A$ 的特征值 $\Rightarrow \lambda^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值$(A^{-1}A\vec\alpha\lambda^{-1}=A^{-1}\lambda\vec\alpha\lambda^{-1}$)
- $f(A)=O \Rightarrow \forall\ \lambda_i$ 是 $A$ 的特征值，$f(\lambda_i)=0$
- $|f(A)|=\prod\limits_{i=1}^n f(\lambda_i)$
- 常见矩阵特征值：
  - $A=O \Rightarrow \lambda_i=0$
  - $A=E \Rightarrow \lambda_i=1$
  - $A=\{1\}_n \Rightarrow \lambda_i=0(i<n),\lambda_n=n\ (A^2=nA)$
特征向量：$(A-\lambda E)\vec\alpha=\vec 0$ 的解
- 不同特征值对应的特征向量线性无关 $(A\vec\alpha_1=\lambda_1\vec\alpha_1,A\vec\alpha_2=\lambda_1\vec\alpha_2,\lambda_1 \neq \lambda_2 \Rightarrow \vec\alpha_1 \nparallel \alpha_2)$
  - 不同特征值对应的线性无关的特征向量组成的向量组线性无关
- $A\vec\alpha=\lambda\vec\alpha$ 解空间维数 $\leq \lambda$ 对于 $A$ 的重数
特征方程：$|A-\lambda E|=0$
特征多项式：$|A-\lambda E|$
迹：$tr A=\sum\limits\limits_{i=1}^n a_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i$

运算

加法：$A_{m*n}+B_{m*n}= \lgroup a_{ij}+b_{ij} \rgroup _{m*n}$
- 交换律：$A+B=B+A$
- 结合律：$A+(B+C)=(A+B)+C$
- 单位元：$O$ ($A+O=O+A=A$)
- 消去律：$A+C=B+C \Leftrightarrow A=B$
数乘：$kA_{m*n}=\lgroup ka_{ij} \rgroup _{m*n}$
- 结合律：$(kl)A=k(lA)=l(kA)$]
- 分配律：$(k+l)A=kA+lA\ ,k(A+B)=kA+kB$
矩乘：$A_{m*p}*B_{p*n}=\lgroup \sum\limits_{k=1}^{p} a_{ik}*b_{kj}\rgroup _{m*n}$
- 结合律：$A*(B*C)=(A*B)*C$
- 分配律：$A*(B+C)=A*C+B*C$
- 交叉结合律：$k(A*B)=(kA)*B=A*(kB)$
- 单位元：$E$ ($A_{m*n}*E_n=E_m*A_{m*n}=A_{m*n}$)
伴随：${A_n}^*=\lgroup A_{ij} \rgroup _n\ ,$ 其中 $A_{ij}$ 表示 $a_{ij}$ 的代数余子式
- $AA^*=|A|E$
- $|A^*|=|A|$
- $(kA)^*=k^{n-1}A^*$
- $(A^*)^*=|A|^{n-2}A$
求逆：$A^{-1}= \frac {A^*}{|A|}\ ,|A| \neq 0(A^{-1}A=E)$
- $AA^{-1}=E(if\ AC=E, C=EC=A^{-1}AC=A^{-1})$
- $(A^{-1})^{-1}=A$
- $(kA)^{-1}=\frac1k A^{-1}$
- $A$ 可逆 $\Rightarrow$ $|A^{-1}|=|A|^{-1}$
- $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
- $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$（ $A,B$ 均可逆）
- $AP=BP \Leftrightarrow A=B$ ，$PA=PB \Leftrightarrow A=B$（ $P$可逆）
- $(A^{-1})^*=\frac A{|A|}$
- $(A^*)^{-1}=|A|^{n-1}A=|A|^n(A^{-1})^*$
方幂：$$A^n=\begin{cases}
\prod\limits {i=1}^n A & n \in Z+\
E & n=0\
\prod\limits_{i=1}^{-n} A^{-1} & n \in Z_-\
\end{cases}$$
- 结合律：$A^k*A^l=A^{k+l}$
- 嵌套律：$(A^k)^l=A^{kl}$
转置：${A_{m*n}}^T=\lgroup a_{ji} \rgroup _{m*n}$
- 反身性：$(A^T)^T=A$
- 分配律（加法）：$(A+B)^T=A^T+B^T$
- 分配律（矩乘）：$(A*B)^T=B^T*A^T$
- 交叉结合律（数乘）：$k(A^T)=kA^T$
行列式：$|A_{m*n}|=det(A_{m*n})=|a_{ij}|_{m*n}=\sum\limits_{p_1p_2...p_n}(-1)^{\tau(p_1p_2...p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}$（Crammer法则）
- 等价律（转置）：$|A^T|=|A|$
- 结合律（数乘）：$|kA|=k^n|A|$
- 分配律（矩乘）：$|A*B|=|A|*|B|$
初等变换：
- 初等变换前后秩不变
- 对应初等矩阵：
  - 初等行变换：（左乘）
    - 对换变换 $(r_a \leftrightarrow r_b)$：$P_{ab}$
    - 数乘变换 $(kr_a)$：$D_a(k)$
    - 倍加变换 $(r_a+kr_b)$：$T_{ba}(k)$
  - 初等列变换：（右乘）
    - 对换变换 $(c_a \leftrightarrow c_b)$：$P_{ab}$
    - 数乘变换 $(kc_a)$：$D_{a}(k)$
    - 倍加变换 $(c_a+kc_b)$：$T_{ab}(k)$

关系

可交换：$AB=BA$
- $E$ 和任意矩阵可交换
- $A$ 和 $A^{-1}$ 可交换
- $A$ 对称：$A$ 和 $A^T$ 可交换
等价：$A_{m*n} \cong B_{m*n} \Leftrightarrow r(A_{m*n})=r(B_{m*n})$
- 反身性：$A \cong A$
- 对称性：$A \cong B \Leftrightarrow B \cong A$
- 传递性：$A \cong B,B \cong C \Rightarrow A \cong C$
相似： $A_n \sim B_n \Leftrightarrow \exists\ P,A_n=P^{-1}B_nP$（特殊的等价）
- 等价关系基本性质（反身性、对称性、传递性）
- $A \sim B \Rightarrow A$ 和 $B$ 特征值和特征多项式相同
- $A \sim B \Rightarrow |A|=|B|$
- $f(x)=\sum\limits_{i=0}^m a_i x^i:A \sim B \Rightarrow f(A) \sim f(B)$（来自 $B^k=(P^{-1}AP)^k=P^{-1}A^kP \Rightarrow A^k \sim B^k$ ）
- $A,B$ 可逆：$A \sim B \Rightarrow A^{-1} \sim B^{-1}(A^{-1}APB^{-1}=A^{-1}PBB^{-1})$
- $A,P$ 可交换 $\Leftrightarrow B,P$ 可交换 $\Leftrightarrow A=B$
合同：$\exists\ P,B=P^TAP \Leftrightarrow A \simeq B \Leftrightarrow r(A)=r(B),p(A)=p(B)$
- 等价关系基本性质
- $A \simeq B \Rightarrow A \cong B$
正交相似：$A \sim B\ \land P$ 为正交阵
- $A \simeq B$
- 相似关系基本性质
- 合同关系基本性质

特殊矩阵

对角阵：$A_n=diag(a_i)_n=\lgroup a_{ij} \rgroup_n(a_{ij}=[i=j]k_{ij},k_{ij} \in R)$
分块矩阵：
- 加法：$A_{m*n}+B_{m*n}=\lgroup A_{ij}+B_{ij} \rgroup_{m*n}$
- 数乘：$kA_{m*n}=\lgroup kA_{ij} \rgroup_{m*n}$
- 转置：$(A_{m*n})^T=\lgroup A_{ji}^T \rgroup_{n*m}$
- 矩乘：$A_{m*p}*B_{p*n}=\big\lgroup \sum\limits\limits_{k=1}^pA_{ip}*B_{pj} \big\rgroup_{m*n}$
- 求逆（对角分块矩阵）：$(A_n)^{-1}=diag((A_i)^{-1})_n$
正交阵：满足 $A^TA=E$ 的实方阵(正交变换：线性变换 $\vec y=A\vec x$ ，其中 $A$ 为正交阵)
- $A^T=A^{-1}$ $\Leftrightarrow A$ 是正交阵
- $AA^T=E$ $(A^T=A^{-1} \Rightarrow AA^{-1}=AA^T=E)$
- $A^T$ 为正交阵 $\Leftrightarrow A$ 是正交阵 $(AA^T=E)$
- $A$ 的行列向量组均为 $R^n$ 的一组标准正交基
- $|\det(A)|=1\ (\det(A^T)=\det(A))$
- $A,B$ 为正交阵 $\Rightarrow AB$ 为正交阵 $((AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TB=E)$
对称阵：满足 $A^T=A$ 的方阵
- $A$ 的特征值均为实数
- $A$ 不同特征值对应特征向量正交
- $A$ 可对角化，且 $P$ 为正交阵

计算方法/常用结论

$\lgroup A\ \vdots\ E \rgroup \cong \lgroup E\ \vdots\ A^{-1} \rgroup$(应用于矩阵求逆)
$(A^{-1})^{-1}=A,(A^*)^*=|A|^{n-2}A,(A^{-1})^*=|A|^{-1}A,(A^*)^{-1}=|A|^{n-1}A$
实对称阵对角化方法：求 $\lambda_i$ 对应解空间的基并将其正交化，所有正交化的向量拼在一起即为 $P$

向量

$\vec\alpha=(a_i)_n$

属性

长度：$\parallel \vec\alpha \parallel=\sqrt{(\vec\alpha,\vec\alpha)}$
- 非负性：$\parallel \vec\alpha \parallel \geq 0$
  - $\parallel \vec\alpha \parallel =0 \Leftrightarrow \vec\alpha=\vec0$
- 齐次性：$\parallel k\vec\alpha \parallel=|k|\parallel \vec\alpha \parallel$
- 三角不等式：$\parallel \vec\alpha+\vec\beta \parallel \leq \parallel \vec\alpha \parallel+\parallel \vec\beta \parallel$

运算

加法：$\vec\alpha + \vec\beta=(a_i+b_i)_n$
- 交换律：$\vec\alpha + \vec\beta=\vec\beta + \vec\alpha$
- 结合律：$(\vec\alpha + \vec\beta) + \vec\gamma = \vec\alpha + (\vec\beta + \vec\gamma)$
- 单位元：$\vec 0(\vec\alpha+\vec 0=\vec 0+\vec\alpha=\vec\alpha)$
减法：$\vec\alpha + \vec\beta=\vec\alpha +(-\vec\beta)$
数乘：$k\vec\alpha=(ka_i)_n$
- 结合律：$k(l\vec\alpha)=(kl)\vec\alpha$
- 分配律：$k(\vec\alpha +\vec\beta)=k\vec\alpha+k\vec\beta$
内积：$(\vec\alpha,\vec\beta)=\vec\alpha^T\vec\beta=\sum\limits\limits_{i=1}^na_ib_i$
- 对称性：$(\vec\alpha,\vec\beta)=(\vec\beta,\vec\alpha)$
- 线性性：
  - $(\vec\alpha+\vec\beta,\vec\gamma)=(\vec\alpha,\vec\gamma)+(\vec\beta,\vec\gamma)$
  - $(k\vec\alpha,\vec\beta)=k(\vec\alpha,\vec\beta)$
- 正定性：$(\vec\alpha,\vec\alpha) \geq 0$
  - $(\vec\alpha,\vec\alpha)=0 \Leftrightarrow \vec\alpha=\vec 0$
- 柯西·施瓦茨不等式：$(\vec\alpha,\vec\beta)^2 \leq (\vec\alpha,\vec\alpha)(\vec\beta,\vec\beta)$
夹角：$\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle={(\vec\alpha,\vec\beta) \over \parallel \vec\alpha \parallel \parallel \vec\beta \parallel}(\parallel \vec\alpha \parallel \parallel \vec\beta \parallel \neq 0)$
生成空间：$V=\{\lambda\vec\alpha+\mu\vec\beta|\lambda,\mu \in R\}$
共轭向量：$\bar{\vec x}=(\bar{x_i})_n$

关系

正交：$\vec\alpha \bot \vec\beta \Leftarrow \theta=\frac{\pi}2$

特殊向量

单位向量：$\vec{\varepsilon_i}=(a_j)_n$ ，其中 $a_j=[j=i]$
- 单位化：$\vec\varepsilon={\vec\alpha \over \parallel \vec\alpha \parallel}$

向量组

$R=\{\vec\alpha_i\}_m$ 或 $R:\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,...,\vec\alpha_m$

属性

线性相关：$\exists\ \vec k=\lgroup k_i \rgroup_m^T,\lgroup \vec\alpha_i \rgroup_m \vec k=\vec 0$
- $\{\vec\beta_i\}_{i=1}^r \subseteq \{\vec\alpha_i\}_{i=1}^m\ ,\{\vec\beta_i\}_{i=1}^r$ 线性相关 $\Rightarrow \{\vec\alpha_i\}_m$ 线性相关
- $\vec 0 \in \{\vec\alpha_i\}_m \Rightarrow \{\vec\alpha_i\}_m$ 线性相关
- $R=\{\vec\alpha_i\}_m\ ,S=\{\vec\beta_i\}_m:\vec\alpha_i=(a_{ji})_n\ ,\vec\beta_i=(a_{p_ji})_n\ ,p_1p_2 \dots p_n$ 是 $1 \sim n$ 的一个排列 $\Rightarrow R\ ,S$ 线性相关性相同
- $R=\{\vec\alpha_i\}_m\ ,S=\{\vec\beta_i\}_m:\vec\alpha_i=(a_{ji})_r\ ,\vec\beta_i=(a_{ji})_{r+1},S$ 线性相关 $\Rightarrow R$ 线性相关
  - $R=\{\vec\alpha_i\}_m\ ,S=\{\vec\beta_i\}_m:\vec\alpha_i=(a_{ji})_r\ ,\vec\beta_i=(a_{ji})_{r+1},R$ 线性无关 $\Rightarrow S$ 线性无关
- $\{\vec\alpha_i\}_n$ 线性相关 $\Leftrightarrow r(A=\lgroup \vec\alpha_i \rgroup_n)<n$
  $\{\vec\alpha_i\}_n$ 线性无关 $\Leftrightarrow r(A=\lgroup \vec\alpha_i \rgroup_n)=n$
  - $n$ 个 $n$ 维向量线性无关 $\Leftrightarrow$ 它们组成的矩阵行列式不为 $0$
  - $m>n:m$ 个 $n$ 维向量线性相关
极大无关组：$R \subseteq \{\vec\alpha_i\}_m,R$ 线性无关，$\forall\ \vec\beta \in \{\vec\alpha_i\}_m-R,R \cup \{\vec\beta\}$ 线性相关
- $R \cong (R$ 的极大无关组 $)$
- $R$ 的极大无关组互相等价
秩：$r(R)=(R$ 的极大无关组的元素个数 $)$
- $R$ 可由 $S$ 线性表出 $\Rightarrow r(R) \leq r(S)$
  - $R \cong S \Leftrightarrow r(R)=r(S)$
  - $R \cong S,R$ 线性无关，$S$ 线性无关 $\Rightarrow R$ 和 $S$ 元素个数相等

运算

关系

线性组合：$\vec\beta=\sum\limits_{i=1}^m k_i \vec{\alpha_i} \Rightarrow \vec\beta$ 是 $\{\vec\alpha_i\}_m$ 的线性组合
线性表出：$\{\vec\alpha_i\}_r$ 可由 $\{\vec\beta_i\}_s$ 线性表出 $\Leftrightarrow \exists\ K=\lgroup k_{ij} \rgroup_{s*r},\lgroup \vec\alpha_i \rgroup_r=\lgroup \vec\beta_i \rgroup_s K$
等价：$R \cong S \Leftrightarrow R$ 可由 $S$ 线性表出，且 $S$ 可由 $R$ 线性表出
- 等价关系基本性质（反身性，对称性，传递性）

特殊向量组

向量空间：$V$ 满足 $\forall\ \vec\alpha,\vec\beta \in V,\ k,l \in R,k\vec\alpha+l\vec\beta \in V$
- 零空间：$O=\{\vec 0\}$
- 子空间：$R$ 满足 $R \subseteq V$
- 基：$V$ 的极大无关组(基向量：基中的向量)
- 维度：$\dim V=r(V)(\dim O=0)$
- $n$ 维向量空间：$R^n$
- 坐标：向量由基线性表出时的系数构成的有序数组
正交向量组：向量组内各向量两两正交的向量组 $\small($ 标准正交向量组/规范正交向量组：各元素均为单位向量的正交向量组,记为 $\{\vec e_i\}_n \small)$
- 正交向量组线性无关

计算方法/常用结论

施密特正交化方法：$\{\vec\alpha_i\}_n$ 线性无关，$\vec\beta_i=\vec\alpha_i-\sum\limits\limits_{j=1}^{i-1}{(\vec\alpha_i,\vec\beta_j) \over (\vec\beta_j,\vec\beta_j)}\vec\beta_j(i \in [1,n]) \Rightarrow \{\vec\beta_i\}_n$ 为正交向量组

线性方程组

齐次线性方程组

解的存在性：
- $|A| \neq 0$：有唯一零解
- $|A|=0$：有无穷多解及无穷多基础解系(自由解个数 $=dim\ S=n-r(A)$ )
通解：$\vec x=\sum\limits_{i=1}^{n-r(A)} k_i\vec x_i$ ，$\{\vec x_i\}_{n-r(A)}$ 为 $S$ 的一个基础解系

非齐次线性方程组

解的存在性：
- $r(A) \neq r(B)$ ：无解
- $r(A)=r(B)$：
  - $r(A)=n$：有唯一解
  - $r(A)<n$：有无穷多解
通解：$\vec x=\vec x_0+\vec x^*$ ，其中 $\vec x_0$ 为 $A\vec x=\vec b$ 的一个特解，$\vec x^*$ 为 $A\vec x=\vec 0$ 的一个通解（不构成解空间）
常见结论证明：
- $AB=0 \Rightarrow B$ 的任一列向量为 $Ax=0$ 解空间的向量 $\Rightarrow r(B) \leq n-r(A) \Rightarrow r(A)+r(B) \leq n$

二次型(二次齐次多项式)

$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j=\vec x^TA\vec x(a_{ij}=a_{ji})$

属性

矩阵：$A$
秩：$r(A)$
标准形：$A=diag(d_i)_n$
- 任意实二次型均可通过正交变换变为标准型 $(\exists\ B,\vec y=B\vec x,f(x_1,x_2,...,x_n)=x^T A x=y^T \Lambda y=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i y_i^2)$
规范形：$A=diag(d_i)_n,d_i \in \{-1,1,0\}$
- 惯性定理：规范形中 $1$ 的个数由 $A$ 唯一确定
- 正惯性指数：规范形中 $1$ 的个数，记作 $p(f)$
- 负惯性指数：规范形中 $-1$ 的个数
- 符号差=正惯性指数-负惯性指数
正定：$f=\vec x^T A \vec x>0$ 的 $f$
- $f$ 正定 $\Leftrightarrow f$ 的 $n$ 个系数全是正数 $\Leftrightarrow p(f)=n \Leftrightarrow \lambda_i>0$
- $A$ 正定 $\Leftrightarrow A \simeq E \Leftrightarrow A$ 的 $n$ 个顺序主子式为正数 $\Leftrightarrow p(A)=r(A)=n$
半正定：$f=\vec x^T A \vec x \geq 0$ 的 $f$
- $A$ 半正定 $\Leftrightarrow A$ 的 $n$ 个顺序主子式非负 $\Leftrightarrow p(A)=r(A) \leq n$
负定：$f=\vec x^T A \vec x < 0$ 的 $f$
- $f$ 负定 $\Leftrightarrow f$ 的 $n$ 个系数全是负数 $\Leftrightarrow \lambda_i>0$
- $A$ 负定 $\Leftrightarrow A$ 的 $n$ 个顺序主子式为负数 $\Leftrightarrow p(A)=0,r(A)=n$
半负定：$f=\vec x^T A \vec x \leq 0$ 的 $f$
- $f$ 半负定 $\Leftrightarrow f$ 的 $n$ 个系数全是非正数 $\Leftrightarrow \lambda_i>0$
- $A$ 半负定 $\Leftrightarrow A$ 的 $n$ 个顺序主子式为正数 $\Leftrightarrow p(A)=0,r(A) \leq n$

计算方法

实二次型标准化：
1. 正交变换法(找使 $A$ 对角化的 $P$)
2. 配方法:
  - 无平方项：找一组 $x_ix_j(a_{ij} \neq 0),x_i=y_i+y_j,x_j=y_i-y_j,x_k=y_k(i,j \neq k),$ 即可出现平方项
  - 有平方项：找一个平方项 $x_i^2$ ，使 $f=a_{ii}(x_i+\sum\limits_{j \neq i}{a_{ij} \over a_{ii}}x_j)^2+g$，将 $g$ 标准化即可

线性空间与线性变换

线性空间

对线性运算（加法、数乘）封闭
加法：
- 交换律（$\vec\alpha+\vec\beta=\vec\beta\vec\alpha$）
- 结合律（$\vec\alpha+(\vec\beta+\vec\gamma)=(\vec\alpha+\vec\beta)+\vec\gamma$）
- 存在零元素（$\exists\vec 0 \in V,\vec\alpha+\vec 0=\vec\alpha$）
- 存在负元素（$\exists\vec\beta \in V,\vec\alpha+\vec\beta=\vec 0$）
数乘：
- 1为单位元
- 结合律（$\lambda(\mu\vec\alpha)=(\lambda\mu)\vec\alpha$）
- 两个分配律（$(\lambda+\mu)\vec\alpha=\lambda\vec\alpha+\mu\vec\alpha,\lambda(\vec\alpha+\vec\beta)=\lambda\vec\alpha+\lambda\vec\beta$）