组合数

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默认会组合数基础内容和二项式定理

学习之前你应该知道：

广义组合数定义

\[\binom n m = \frac {n^{\underline m}} {m!} \]

\[n^{\underline m} = n \times(n - 1) \times (n - 2)\times...\times(n-m+1) \]

主要内容

组合数常用公式及证明

这里的证明主要分为 3 种

1.用组合意义证明

2.用定义证明(拆成阶乘形式)

3.用前面的公式推导

公式目录

\[\begin{aligned} \binom n k &= \frac n k \binom {n - 1} {k - 1}\\ \binom n k &= (-1)^k \binom {k - n - 1}{k}\\ \binom nm\binom mk &= \binom nk \binom {n-k}{m-k}\\ \binom nk &= \binom {n - 1}{k - 1} + \binom {n - 1}{k}\\ \sum_{k = 0}^n \binom km &= \binom{n + 1} {m + 1}\\ \sum_{k = 0}^m \binom {n+k}k &= \binom {n + m + 1} m\\ \sum_{k = 0}^{n}\binom r k\binom s {n - k} &= \binom {r + s}{n}\\ \sum_{k = 0}^n\binom n k &= 2^n\\ \sum_{k = 0}^m(-1)^k \binom n k &= (-1)^m\binom {n - 1}m\\ \end{aligned} \]

不带求和

1.吸收公式（Absorption Identity）：

\[\binom n k = \frac n k \binom {n - 1} {k - 1} \]

定义证明：

\[\binom n k = \frac {n!}{(k-n)!\times k!} \]

\[\frac n k \binom {n - 1}{k - 1} = \frac n k \frac {(n - 1)!}{(n-k)!\times(k-1)!} = \frac {n!}{(k-n)!\times k!} \]

推广：

\[k\binom n k = n \binom {n-1}{k-1},(n - k)\binom n k = n \binom{n-1} k \]

均可用定义证明，不再赘述。

2.上指标反转（Negating the Upper Index）：

\[\binom n k = (-1)^k \binom {k - n - 1}{k} \]

定义证明：

（这里运用组合数广义定义）

\[\binom {k - n - 1} k = \frac {(k - n - 1) ^ {\underline k}} {k!}\\ \begin{aligned} (k - n - 1) ^ {\underline k} &= (k - n - 1)\times(k - n - 2)\times...\times(-n)\\ &=(-1)^k \times n \times (n +(k - 1) - k) \times ...\times (n + 1 - k)\\ &=(-1)^k n ^{\underline k} \end{aligned} \]

把这个带入就可以了。

3.三项式系数恒等式：

\[\binom nm\binom mk = \binom nk \binom {n-k}{m-k} \]

组合意义证明：

从 \(n\) 个小球中选 \(m\) 个染成红色，再从 \(m\) 个红色小球中选 \(k\) 个染成蓝色。

从 \(n\) 个小球中选 \(k\) 个染成蓝色，再从 \(n - k\) 个无色小球中选 \(m - k\) 个染成红色。

两种方法得到的最终结果等价。

定义证明：

\[\binom nm\binom mk = \frac {n!}{m!\times(n-m)!} \times \frac{m!}{k!\times(m-k)!} = \frac {n!} {k!\times(n-m)!\times(m-k)!} \]

\[\binom nk\binom {n-k}{m-k} = \frac {n!}{k!\times(n-k)!} \times \frac{(n-k)!}{(n-m)!\times(m-k)!} = \frac {n!} {k!\times(n-m)!\times(m-k)!} \]

4.帕斯卡公式

\[\binom nk = \binom {n - 1}{k - 1} + \binom {n - 1}{k}，k\in[1,n] \]

组合意义证明

从 \(n\) 个小球中选 \(k\) 个，一定是最后一个小球不选然后从 \(n - 1\) 个里面选 \(k\) 个和最后一个小球要选然后从 \(n - 1\) 个里面选 \(k - 1\) 个的方案数加起来。

定义证明

\[\begin{aligned} \binom nk &= \binom {n - 1}{k - 1} + \binom {n - 1}{k}\\ \frac {n!} {k!\times(n-k)!} &= \frac {(n-1)!}{(n-k)!\times(k-1)!} + \frac {(n-1)!}{(n-k - 1)!\times(k)!}\\ \frac {n!} {k!\times(n-k)!} &= \frac {(n-1)!\times(k)!\times(n-1-k)! + (n-k)!\times(n-1)!\times(k-1)!} {(n-k)!\times(k-1)!\times k!\times(n-1-k)!}\\ {n!}&= \frac {(n-1)!\times[(k)!\times(n-1-k)! + (n-k)!\times(k-1)!]} {(k-1)!\times(n-1-k)!}\\ n &= \frac{k! \times (n-1-k)!} {(k-1)!\times(n-1-k)!} + \frac{(n-k)! \times (k-1)!} {(k-1)!\times(n-1-k)!}\\ n &= k + n - k\\ n &= n \end{aligned} \]

求和

接下来才是真正有用的东西

1.上指标求和（Summation on the Upper Index）：

公式1

\[\sum_{k = 0}^n \binom km = \binom{n + 1} {m + 1}\\ \]

组合证明

有 \(n + 1\) 个球，选 \(m + 1\) 个，枚举最后一个选的位置在 \(k + 1\) 则前 \(k\) 个要选 \(m\) 个。

推导证明

根据4.帕斯卡公式得

\[\begin{aligned} \binom {n + 1}{m + 1} &= \binom{n}{m}+\binom{n}{m + 1}\\ &=\binom{n}{m}+\binom{n-1}{m} + \binom{n-1}{m+1}\\ &=\binom{n}{m}+\binom{n-1}{m} + \binom{n-2}{m} + \binom{n-2}{m+1}\\ &=......\\ &=\sum_{k = 0}^n \binom km \end{aligned} \]

公式2

\[\sum_{k = 0}^m \binom {n+k}k = \binom {n + m + 1} m \]

推导证明

\[\begin{aligned} \sum_{k = 0}^m \binom {n+k}k &= \sum_{k = 0}^m \binom {n+k}n =\sum_{k = n}^{n + m} \binom kn\\ &=\sum_{k = 0}^{n + m} \binom kn - \sum_{k = 0}^{n-1} \binom kn\\ &=\binom {m + n + 1}{n + 1} - \binom{n}{n + 1}\\ &=\binom {m + n + 1}m \end{aligned} \]

第 3 行运用了上指标求和的公式1 ，第 3 行还使用了\(\binom n {n + 1} = 0\)

2.范德蒙德卷积

\[\sum_{k = 0}^{n}\binom r k\binom s {n - k} = \binom {r + s}{n} \]

组合证明

有 \(r + s\) 个小球选 \(n\) 个小球，枚举在前 \(r\) 个中选 \(k\) 个，在后 \(s\) 个中选 \(n-k\) 个。

推导证明

这里用了二项式定理

\[\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+m}\binom{n+m}kx^k&= (x + 1)^{n + m}\\ &=(x + 1)^n(x + 1)^m\\ &=\sum_{r=0}^n \binom nr x^r + \sum_{r=0}^m \binom ms x^s\\ &=\sum_{k=0}^{n+m}\sum_{r=0}^k\binom{n}{k}\binom{m}{k-r}x^k \end{aligned} \\ \Rightarrow \binom{n+m}k = \sum_{r=0}^k\binom{n}{k}\binom{m}{k-r} \]

3.一行之和

\[\sum_{k=0}^n\binom n k = 2^n \]

组合意义证明

从 \(n\) 个小球里面选任意个小球，每个小球有选和不选两种情况。

即是所有子集的个数。

推导证明

这里使用帕斯卡公式，以及数学归纳法。

首先在 \(n = 0\) 时只有 \(\binom 00 = 1\)，满足 \(= 2^0\)

于是对于 \(n\) 时，假设 \(\sum_{k = 0}^{n - 1} {n - 1 \choose k} = 2^{n-1}\) 成立。

\[\begin{aligned} \sum_{k=0}^n\binom n k &= \binom n0 + \sum_{k = 1}^n ({n - 1 \choose k} + {n - 1 \choose k - 1}) \\ &= \binom n0 + \sum_{k = 1}^n {n - 1 \choose k} + \sum_{k = 1}^n {n - 1 \choose k - 1} \\ &= \binom n0 + \sum_{k = 1}^n {n - 1 \choose k} + \sum_{k = 0}^n {n - 1 \choose k} \\ &= \binom n0 + \binom {n-1}0 + \binom{n-1}n + 2 \sum_{k = 1}^{n - 1} {n - 1 \choose k} \\ &= 2 \binom n0 + 2 \sum_{k = 1}^{n-1} {n - 1 \choose k } \\ &= 2 \sum_{k = 0}^{n - 1} {n - 1 \choose k} \\ &= 2 \times 2^{n - 1} \\ &= 2^n \end{aligned} \]

依据归纳法，假设成立。