1. 带余除法
1.1. 计算图例
1.2. 定理
1.2.1. 定理描述
对于来自于 \(P[x]\) 中的任意两个多项式 \(f (x)\) 与 \(g (x)\)，其中 \(g (x) \ne 0\)，一定存在来自于 \(P[x]\) 的 \(q (x),r(x)\)，成立：
其中：
- \(r (x)\)： \(d[r(x)]<d[g(x)]\) 或者 \(r (x) = 0\)
- \(q(x),r(x)\)： 是唯一的
注：\(d[f(x)]\) 意思是：计算 \(f(x)\) 的次数，即最高次项的次数。
1.2.2. 存在性证明
1.2.2.1. 若\(f (x)=0\)
取q (x)=r (x)=0，定理成立
1.2.2.2. 若 \(f (x)\ne 0\)
设 \(f(x),g(x)\) 的次数分别为n, m，即有：
1.2.2.2.1. 若 \(n<m\)
取 \(q(x)=0,r(x)=f(x)\)，定理成立
1.2.2.2.2. 若 \(n\ge m\)
归纳法假设：当 \(f(x)\) 次数小于n时 , \(q ( x), r ( x)\) 的存在已证. 即，只要给定一个 \(f(x)\)，满足 \(d[f (x)]\le n\)，就存在 \(q(x),r(x)\)，成立：
其中 \(d[r(x)]<d[g(x)]\) 或者 \(r(x)=0\)
现来看次数为 \(n\) 的情形
令 \(ax^n , bx^m\) 分别是 \(f ( x), g ( x)\) 的首项, 于是 \(b^{- 1} ax^{n - m} g( x)\) 与 \(f ( x)\) 有相同的首项, 因而多项式
的次数小于n 或为0, 即
1.2.2.2.2.1. 若 \(d[f_{1}(x)]=0\)
取 \(g (x) = b^{- 1} ax^{n - m}, r (x) = f_{1}(x) = 0\)，定理成立
1.2.2.2.2.2. 若 \(d[f_{1}(x)] \le n\)
由归纳法假设，对 \(f_1 ( x), g ( x)\) 有 \(q_1 ( x), r_1 ( x)\) 存在使
其中 \(d[r_{1}(x)]<d[g(x)]\) 或者 \(r_{1}(x)=0\)
于是：
取 \(q (x) = q_{1}(x)+b^{- 1} ax^{n - m}\)，\(r (x) = r_{1}(x)\)，则有：
成立，由归纳法原理, 对任意的 \(f ( x), g ( x) ≠0, q ( x), r ( x)\) 的存在性就证明了
1.2.3. 唯一性证明
设另有多项式 \(q'( x), r'( x)\) 使
其中 \(d[r'(x)]<d[q'(x)]\) 或者 \(d[r'(x)]=0\)
于是有：
即：
进一步整理：
如果 \(q (x)\ne q'(x)\)，又根据定理的假设 \(g (x)\ne 0\)，于是：
由于 \(d[ r ( x)- r' ( x)]\le \max(d[r ( x)],d[r '( x)])\)，且由定理假设，\(g(x)\) 的次数比 \(r(x)\) 的次数大，于是：
但是，根据，知：\(d[g (x)]\le d[r ( x)- r' ( x)]\)，于是：
矛盾，于是得到 \(q(x)=q'(x)\)，进而因 \(g (x)\ne 0\)，得到：\(r(x)=r'(x)\).
于是，唯一性得证。