P2345 奶牛集会-526互联

\(P2345\) 奶牛集会

一、题目描述

约翰的\(N\)头奶牛每年都会参加 哞哞大会。哞哞大会是奶牛界的盛事。集会上的活动很多，比如堆干草，跨栅栏，摸牛仔的屁股等等。它们参加活动时会聚在一起，第\(i\)头奶牛的坐标为\(X_i\)，没有两头奶牛的坐标是相同的。奶牛们的叫声很大，第\(i\)头和第\(j\)头奶牛交流，会发出\(max(V_i,V_j) × |X_i−X_j|\) 的音量，其中\(V_i\) 和\(V_j\) 分别是第\(i\) 头和第\(j\),头奶牛的听力。假设每对奶牛之间同时都在说话，请计算所有奶牛产生的音量之和是多少。

\(Input\)
第一行：单个整数\(N\)

第二行到第\(N+1\) 行：第\(i+1\) 行有两个整数\(V_i\)和\(X_i\)。

\(Output\)
单个整数：表示所有奶牛产生的音量之和

\(Sample\) \(Input\)

\(Sample\) \(Output\)

\(Hint\)
所有数据≤ \(20000\)

二、解题思路

首先分析一下式子\(max\{V_i,V_j\}×|X_i − X_j|\)

想办法化简公式，去掉原公式中的\(max\)和绝对值符号。

第\(i\)头牛和其他的牛发出的声音 = ① + ②

① 第\(i\)头牛的\(v_i\) * (它之前牛的个数 * 它的坐标 - 它之前所有牛的坐标和)

② 第\(i\)头牛的\(v_i\) * (它之后所有牛的坐标和 - 它之后牛的个数 * 它的坐标）

对于牛在某个坐标区间内的个数和牛的坐标和，我们可以用两个树状数组来维护。

三、\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20010;

// 听力值v,坐标x

// 结构体+第一维、第二维由小到大排序
struct Node {
    int v, x;
    const bool operator<(const Node &t) const {
        if (v == t.v) return x < t.x;
        return v < t.v;
    }
} a[N];

int tr1[N], tr2[N]; // 两个树状数组

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add1(int x, int c) {
    for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr1[i] += c;
}

int sum1(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr1[i];
    return res;
}

void add2(int x, int c) {
    for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr2[i] += c;
}

int sum2(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr2[i];
    return res;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("P2345.in", "r", stdin);
#endif

    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d %d", &a[i].v, &a[i].x);

    sort(a + 1, a + n + 1); // 排序

    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        LL s1 = sum1(a[i].x - 1);           // a[i]进入树状数组时，它前面所有牛的坐标和
        LL s2 = sum1(20000) - sum1(a[i].x); // a[i]进入树状数组时，它后面所有牛的坐标和

        LL cnt = sum2(a[i].x);
        /*
        a[i].v:第i头牛的vi
        cnt:它之前牛的个数
        s1:它之前所有牛的坐标和

        s2:它之后所有牛的坐标和
        (i-1-cnt):它之后牛的个数
        a[i].x：它的坐标
        */
        res += a[i].v * (cnt * a[i].x - s1 + s2 - (i - 1 - cnt) * a[i].x);

        add1(a[i].x, a[i].x); // 动态维护坐标前缀和
        add2(a[i].x, 1);      // 动态维护个数前缀和
    }
    // 输出结果
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}

moofest p2345 usaco open