理论基础
卡哥建议：其实在讲解二叉树的时候，就给大家介绍过回溯，这次正式开启回溯算法，大家可以先看视频，对回溯算法有一个整体的了解。
题目链接/文章讲解：https://programmercarl.com/%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80.html
77. 组合
卡哥建议：对着 在 回溯算法理论基础 给出的 代码模板，来做本题组合问题，大家就会发现 写回溯算法套路。在回溯算法解决实际问题的过程中，大家会有各种疑问，先看视频介绍，基本可以解决大家的疑惑。本题关于剪枝操作是大家要理解的重点，因为后面很多回溯算法解决的题目，都是这个剪枝套路。
题目链接/文章讲解：https://programmercarl.com/0077.%E7%BB%84%E5%90%88.html
做题思路：
暴力解法思路：当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环；如果n为100，k为50呢，那就50层for循环！
那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了。
图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
回溯法三部曲（见卡哥文章）
- 递归函数的返回值以及参数
- 回溯函数终止条件
- 单层搜索的过程
path是一维数组，用来存放符合条件单一结果；result是二维数组，用来存放符合条件结果的集合。
startIndex 就是防止出现重复的组合，在代码里是一个变量，从1开始。
本题代码：
1 class Solution {
2 private:
3 vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
4 vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
5 void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
6 if (path.size() == k) {
7 result.push_back(path);
8 return;
9 }
10 for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
11 path.push_back(i); // 处理节点
12 backtracking(n, k, i + 1); // 递归
13 path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
14 }
15 }
16 public:
17 vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
18 result.clear(); // 可以不写
19 path.clear(); // 可以不写
20 backtracking(n, k, 1);
21 return result;
22 }
23 };
剪枝优化
比如， n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了，因为（2，3，4），不含4个数。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。
优化过程如下（看卡哥文章举例）：
-
已经选择的元素个数：path.size();
-
还需要的元素个数为: k - path.size();
-
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
剪枝优化后整体代码如下：
1 class Solution {
2 private:
3 vector<vector<int>> result;
4 vector<int> path;
5 void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
6 if (path.size() == k) {
7 result.push_back(path);
8 return;
9 }
10 for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
11 path.push_back(i); // 处理节点
12 backtracking(n, k, i + 1);
13 path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
14 }
15 }
16 public:
17
18 vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
19 backtracking(n, k, 1);
20 return result;
21 }
22 };