参考洛谷博客 https://www.luogu.com.cn/blog/Soulist/solution-p4980
群
我们定义一个集合 \(G\) 和一个作用于集合元素的二元运算符 \(\times\),将其作为一个整体 \((G,\times)\),满足如下性质:
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封闭性:\(\forall g,h\in G,g\times h\in G\)
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结合律:\(\forall a,b,c\in G,(a\times b)\times c=a\times (b\times c)\)
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单位元:\(\exists e\in G\),使得 \(\forall g\in G,g\times e=g\),单位元唯一
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逆元:\(\forall g\in G,\exists h\in G\) 满足 \(g\times h=e\),可以记 \(h=g^{-1}\),元素的逆元唯一
则我们称 \((G,\times)\) 为一个群。
子群
对于群 \((G,\times)\),如果有 \(H\subseteq G\),且 \((H,\times)\) 也是一个群,则称 \((H,\times)\) 为 \((G,\times)\) 的子群,记为 \((H,\times)\le (G,\times)\)。
如果现在有两个群 \(G,H\),满足 \(H\le G,g\in G\),则有定义:
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\(gH=g\times h(h\in H)\),称 \(gH\) 为 \(H\) 在 \(G\) 内对于 \(g\) 的左陪集
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\(Hg=h\times g(h\in H)\),称 \(Hg\) 为 \(H\) 在 \(G\) 内对于 \(g\) 的右陪集
陪集具有如下性质:
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\(\forall g\in G,|H|=|Hg|\)
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\(\forall g\in G,g\in Hg\)(\(H\) 中存在单位元 \(e\))
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\(g\in H \Longleftrightarrow H=Hg\)(封闭性)
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\(Ha=Hb \Longleftrightarrow a\times b^{-1}\in H(a\in G,b\in G)\)(\(h_1\times a=h_2\times b \Longrightarrow a\times b^{-1}=h_2\times h_1^{-1}\in H\))
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\(Ha\cap Hb\ne \varnothing \Longrightarrow Ha=Hb\)
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\(H\) 的全体右陪集的并为 \(G\)(\(H\) 中的单位元有 \(g\times e=g(g\in G)\) 于是可以取遍 \(G\) 的所有元素)
还有一些常见的表述:
若 \(H\le G\),记 \(G/H\) 表示 \(H\) 在 \(G\) 中的所有左陪集构成的集合 \(\{gH|g\in G\}\)
若 \(H\le G\),记 \([G:H]\) 表示 \(H\) 在 \(G\) 中不同左/右陪集的数量(左右陪集数相等)
拉格朗日定理
证明:又上述性质可得 \(|H|=|Hg|\) 且所有本质不同的右陪集两两不交,右陪集同理。
置换
个人理解为作用于一个序列的运算,可用双行表示法:
表示把第一个数换为第四个数,第二个数换为第一个数,以此类推。
很显然 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 4 & 1 & 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 & 1 & 5\\ 5 & 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\) 这种是等价的,所以我们可以强行规定第一行是 \(1\sim n\),用一个排列来表示置换:
那么我们的运算就变成了:
称为置换的合成(下文的群作用)。
置换群
既然置换之间可以合成运算,并且很显然存在单位元 \(e=\begin{pmatrix}1&2&3&\dots&n\end{pmatrix}\),稍微手玩可以发现有逆元如 \(\begin{pmatrix}4&1&3&5&2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}2&5&3&1&4\end{pmatrix}\),我们可以用一个群来表示 \(G=(M,\times)\),其中 \(M\) 是若干个置换组成的集合,称为置换群。
群作用
对于一个集合 \(M\) 和一个群 \(G\),如果有一个二元函数 \(\varphi(v,k)\),其中 \(v\in G\),\(k\in M\),满足:
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\(\varphi(e,k)=k\)(\(e\) 为群中的单位元)
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\(\varphi(a,varphi(b,k))=\varphi(a\times b,k)\)
则称群 \(G\) 作用于 \(M\)。
轨道-稳定子定理
轨道
对于一个集合 \(M\) 和一个作用于 \(M\) 上的群 \(G\),集合 \(M\) 中的元素 \(k\) 通过 \(G\) 中元素可以转移到的集合称为轨道,记为 \(G_{(k)}\)。
稳定子
还是考虑上述的集合 \(M\) 和群 \(G\),若 \(G\) 中的一个元素 \(g\) 满足其对 \(M\) 中元素 \(k\) 的作用有 \(\varphi(g,k)=k\),则称 \(g\) 所构成的集合连带运算所构成的群为 \(G\) 中 \(k\) 的稳定子,记为 \(G_k\)
元素的不动元素集
还是上文的 \(M\) 和 \(G\),若对于 \(G\) 中的一个元素 \(g\),\(M\) 中的元素 \(k\) 满足 \(\varphi(g,k)=k\),这些元素构成的集合称为该元素的不动元素集,记为 \(F_g\)。
定理
Burnside 引理
还是上文的 \(M\) 和 \(G\),则 \(M\) 中本质不同的轨道数量为: