树状数组

TODO：

• 二维树状数组
• 维护不可差分信息
• 补充题目

前言

在阅读本文之前，您可能需要先了解位运算、二叉树以及前缀和与差分等相关知识

本文中，若无特殊说明，数列下标均从 \(1\) 开始

引入

什么是树状数组

树状数组是一种 通过数组来模拟"树形"结构，支持单点修改和区间查询的数据结构

因为它是通过二进制的性质构成的，所以它又被叫做 二进制索引树（\(Binary\ Indexed\ Tree\)），也被称作 \(FenWick\ Tree\)

用于解决什么问题

树状数组常用于动态维护区间信息

例题

P3374 【模板】树状数组 1 - 洛谷

题目简述：对数列进行单点修改以及区间求和

常规解法

单点修改的时间复杂度为 \(O(1)\)

区间求和的时间复杂度为 \(O(n)\)

共 \(m\) 次操作，则总时间复杂度为 \(O(n\times m)\)

import java.io.*;

public class Main {
    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));

    static int get() throws IOException {
        in.nextToken();
        return (int) in.nval;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        int n = get(), m = get();
        int[] a = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = get();
        while (m-- != 0) {
            int command = get(), x = get(), y = get();
            if (command == 1) {
                a[x - 1] += y;
            } else {
                int sum = 0;
                for (int i = x - 1; i < y; i++) sum += a[i];
                out.println(sum);
            }
        }
        out.close();
    }
}

前缀和解法

区间求和通过前缀和优化，但单点修改的时候需要修改前缀和数组

单点修改的时间复杂度为 \(O(n)\)

区间求和的时间复杂度为 \(O(1)\)

共 \(m\) 次操作，则总时间复杂度为 \(O(n\times m)\)

import java.io.*;

public class Main {
    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));

    static int get() throws IOException {
        in.nextToken();
        return (int) in.nval;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        int n = get(), m = get();
        int[] sum = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + get();
        while (m-- != 0) {
            int command = get(), x = get(), y = get();
            if (command == 1) {
                for (int i = x; i <= n; ++i) sum[i] += y;
            } else {
                System.out.println(sum[y] - sum[x - 1]);
            }
        }
        out.close();
    }
}

树状数组解法

可以发现上述两种方法，不是单点修改的时间复杂度过高，就是区间求和的时间复杂度过高，导致最坏时间复杂度很高。

于是，树状数组出现了，它用来平衡这两种操作的时间复杂度。

树状数组的思想

每个正整数都可以表示为若干个 \(2\) 的幂次之和（二进制基本原理）

类似的，每次求前缀和，我们也希望将区间 \([1,i]\) 分解成 \(\log_2 i\) 个子集的和

也就是如果 \(i\) 的二进制表示中如果有 \(k\) 个 \(1\)，我们就希望将其分解为 \(k\) 个子集之和

树状数组的树形态与二叉树

每一个矩形代表树的一个节点，矩形大小表示所管辖的数列区间范围

一颗二叉树的形态如下图所示

我们发现，对于具有逆运算的运算，如求和运算，有如下式子

实际上，许多数据可以通过一些节点的差集获得

因此，上述二叉树的一些节点可以进行删除

树状数组的形态如下图所示

管辖区间

对于下图中的树状数组（黑色数字代表原始数组 \(A_i\) 红色数字代表树状数组中的每个节点数据 \(C_i\)）

从图中可以看出：

那么如何通过计算机确定 \(C_x\) 的管辖区间呢？

前面提到过树状数组的思想是基于二进制的

树状数组中，规定 \(C_x\) 所管辖的区间长度为 \(2^k\)，其中：

• 设二进制最低位为第 \(0\) 位，则 \(k\) 恰好为 \(x\) 的二进制表示中，最低位的 \(1\) 所在的二进制位数；
• \(2^k\)（\(C_x\) 的管辖区间长度）恰好为 \(x\) 二进制表示中，最低位的 \(1\) 以及后面所有 \(0\) 组成的数。

以 \(C_{88}\) 所管辖的区间为例

因为 \((88)_{10}=(1011000)_2\)，其二进制最低位的 \(1\) 及后面的 \(0\) 组成的二进制是 \((1000)_2=(8)_{10}\)，所以，\(C_{88}\) 管理 \(8\) 个 \(A\) 数组中的元素。

因此，\(C_{88}\) 代表 \(A[81\dots88]\) 的区间信息。

我们记 \(x\) 二进制最低位 \(1\) 以及后面的 \(0\) 组成的数为 \(lowbit(x)\)，则 \(C_x\) 管辖的区间就是 \(A[x-lowbit(x)+1,x]\)

其中 lowbit(x) = x & (~x + 1) = x & -x

树状数组树的性质

性质比较多，下面列出重要的几个性质，更多性质请参见OI Wiki，下面表述忽略二进制前导零

1. 节点 \(u\) 的父节点为 \(u+lowbit(u)\)

2. 设节点 \(u=s\times 2^{k+1}+2^k\)，则其儿子数量为 \(k=log_2lowbit(u)\)（即 \(u\) 的二进制表示中尾随 \(0\) 的个数），这 \(k\) 个儿子的编号分别为 \(u-2^t(0\le t<k)\)

   如 \(k=3\)，\(u\) 的二进制表示为 1000，则 \(u\) 有三个儿子，这三个儿子的二进制编号分别为 111、110、100

3. 节点 \(u\) 的所有儿子对应 \(C_u\) 的管辖区间恰好拼接成 \([lowbit(u),u-1]\)

   • 如 \(k=3\)，\(u\) 的二进制表示为 1000，\(u\) 的三个儿子的二进制编号分别为 111、110、100

     C[100]表示A[001~100]，C[110]表示A[101~110]，C[111]表示A[111~111]

     上述三个儿子管辖区间的并集恰好是 A[001~111]，即 \([lowbit(u),u-1]\)

单点修改

根据管辖区间，逐层维护管辖区间包含这个节点的父节点（节点 \(u\) 的父节点为 \(u+lowbit(u)\)）

void add(int x, int val) { // A[x] 加上 val
    for (; x <= n; x += x & -x) {
        C[x] += val;
    }
}

区间查询

区间查询问题可以转化为前缀查询问题（前缀和思想），也就是查询区间 \([l,r]\) 的和，可以转化为 \(A[1\dots r]\)与\(A[1\dots l-1]\)的差集

如计算 \(A[4\dots7]\) 的值，可以转化为求 \(A[1\dots7]\) 和 \(A[1\dots3]\) 再相减

前缀查询的过程是：根据管辖区间，不断拆分区间，查找上一个前缀区间

对于 \(A[1\dots x]\) 的前缀查询过程如下：

• 从 \(x\) 开始向前拆分，有 \(C_x\) 管辖 \(A[x-lowbit(x)+1\dots x]\)
• 令 \(x\gets x-lowbit(x)\)
• 重复上述过程，直至 \(x=0\)

由于 \(x-lowbit(x)\) 的算术意义是去除二进制最后一个 \(1\)，因此也可以写为 \(x\&(x-1)\)

// 查询前缀 A[1...x] 的和
int getSum(int x) {
    int ans = 0;
    for (; x != 0; x &= x - 1) ans += C[x];
    //for (; x != 0; x -= x & -x) ans += C[x];
    return ans;
}
// 查询区间 A[l...r] 的和
int queryRange(int l, int r) {
    return getSum(r) - getSum(l - 1);
}

上述过程进行了两次前缀查询，实际上，对于 \(l-1\) 和 \(r\) 的前缀区间是相同的，我们不需要计算

// 查询区间 A[l...r] 的和
int queryRange(int l, int r) {
    // return getSum(r) - getSum(l - 1);
    int ans = 0;
    --l;
    while (l < r) {
        // 左边层数低，左边向前跳
        int lowbitl = l & -l, lowbitr = r & -r;
        if (l != 0 && lowbitl < lowbitr) {
            ans -= C[l];
            l -= lowbitl;
        } else {
            ans += C[r];
            r -= lowbitr;
        }
    }
    return ans;
}

单点查询

单点查询可以转化为区间查询，需要两次前缀查询，但有更好的方法

\(x\) 所管辖的区间为 \(C_x=A[x-lowbit(x)+1\dots x]\)，而节点 \(x\) 的所有子节点的并集恰好为 \(A[x-lowbit(x)+1\dots x-1]\)

则 \(A[x]=C_x-A[x-lowbit(x)+1\dots x-1]\)

对于 \(A[x]\) 的更好的查询过程如下：

• 查询 \(x\) 所管辖的区间 \(C_x\)
• 减去 \(x\) 的所有子节点的数据

//int queryOne(int x) {
//    return queryRange(x, x);
//}
int queryOne(int x) {
    int ans = c[x];
    int lca = x & x - 1; // x - lowbit(x)
    for (int i = x - 1; i > lca; i &= i - 1) {
        ans -= C[i];
    }
    return ans;
}

建树

可以通过调用单点修改方法进行建树，时间复杂度 \(O(n\log n)\)

时间复杂度为 \(O(n)\) 的建树方法有如下两种：

方法一：

每一个节点的值是由所有与自己直接相连的儿子的值求和得到的。因此可以倒着考虑贡献，即每次确定完儿子的值后，用自己的值更新自己的直接父亲。

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        C[i] += A[i];
        // 找 i 的父节点
        int father = i + (i & -i);
        if (father <= n) C[father] += C[i];
    }
}

方法二：

由于 \(C_x\) 所管辖的区间是 \([x-lowbit(x)+1,x]\)，则可以预处理 \(sum\) 前缀和数组，再通过 \(sum[x]-sum[x-lowbit(x)]\) 计算 \(C_x\)

我们也可以先用 \(C\) 数组计算前缀和，再倒着计算 \(C_x\)（因为正着计算会导致前面的值被修改，与 \(01\) 背包优化相同）

同样的 \(x-lowbit(x)\) 可以写为 \(x\&(x-1)\)

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        C[i] = C[i - 1] + A[i];
    }
    for (int i = n; i > 0; --i) {
        C[i] -= C[i & i - 1];
    }
}

复杂度分析

空间复杂度为 \(O(n)\)

单点修改、单点查询、区间查询操作的时间复杂度均为 \(O(\log{n})\)

建树的时间复杂度为 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n)\)

Code

import java.io.*;

public class Main {
    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));

    static int get() throws IOException {
        in.nextToken();
        return (int) in.nval;
    }

    static int n;
    static int[] c, a;

    static void add(int x, int val) {
        for (; x <= n; x += x & -x) {
            c[x] += val;
        }
    }

    static int getSum(int x) {
        int ans = 0;
        for (; x != 0; x &= x - 1) ans += c[x];
        return ans;
    }

    static int queryOne(int x) {
        int ans = c[x];
        int lca = x & x - 1;
        for (int i = x - 1; i > lca; i &= i - 1) {
            ans -= c[i];
        }
        return ans;
    }

    static int queryRange(int l, int r) {
        int ans = 0;
        --l;
        while (l < r) {
            // 左边层数低，左边向前跳
            int lowbitl = l & -l, lowbitr = r & -r;
            if (l != 0 && lowbitl < lowbitr) {
                ans -= c[l];
                l -= lowbitl;
            } else {
                ans += c[r];
                r -= lowbitr;
            }
        }
        return ans;
    }

    static void init() {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            c[i] += a[i];
            int father = i + (i & -i);
            if (father <= n) c[father] += c[i];
        }
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        n = get();
        int m = get();
        a = new int[n + 1];
        c = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = get();
        init();
        while (m-- != 0) {
            int command = get(), x = get(), y = get();
            if (command == 1) {
                add(x, y);
            } else {
                out.println(queryRange(x, y));
            }
        }
        out.close();
    }
}

要点总结

• 注意树状数组的树型特征

• \(x\) 的管辖元素个数为\(lowbit(x)\)，管辖区间为 \([x-lowbit(x)+1,x]\)

• 树状数组中，\(x\) 的父节点编号为 \(x+lowbit(x)\)

• 树状数组的二叉查找树中，\(x\) 的父节点（也即前缀区间）编号为 \(x-lowbit(x)\)

• 树状数组是一个维护前缀信息的树型数据结构

• 树状数组维护的信息需要满足结合律以及可差分（因为一些数据需要通过其他数据的差集获得）两个性质，如加法，乘法，异或等

  结合律：\((x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)\)，其中 \(\circ\) 是一个二元运算符。

  可差分：具有逆运算的运算，即已知 \(x\circ y\) 和 \(x\) 可以求出 \(y\)

• 有时树状数组在其他辅助数组（如差分数组）的帮助下，可以解决更多的问题

• 由于树状数组需要逆运算抵消掉原运算（如加和减），而线段树只需要逐层拆分区间，在合并区间信息，并不需要抵消部分数值，所以说树状数组能解决的问题是线段树能解决的问题的子集

• 树状数组下标也可以从 \(0\) 开始，此时 \(x\) 的父节点编号为 \(x|(x+1)\)，\(x\) 的管辖元素个数为 \(x-(x\&(x+1))+1\)，管辖区间为 \([x\&(x+1),x]\)

• 树状数组常常通过离散化这一技巧缩小数据范围来减少空间

• 树状数组是一种工具，许多问题可以借助这个工具解决，就如同滑动窗口可以借助双端队列解决一样

树状数组封装类

一个 \(Java\) 的树状数组封装类

class BIT {
    int n;
    int[] c;

    // 请保证 a 的数据从下标 1 开始
    public void init(int[] a) {
        // assert(a.length > n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            c[i] += a[i];
            int father = i + (i & -i);
            if (father <= n) c[father] += c[i];
        }
    }
    
    public BIT(int _n) {
        n = _n;
        c = new int[n + 1];
    }
    
    // 请保证 a 的数据从下标 1 开始
    public BIT(int[] a, int _n) {
        this(_n);
        init(a);
    }
    
    public void add(int i, int val) {
        if (i > n) return;
        for (; i <= n; i += i & -i) {
            c[i] += val;
        }
    }
    
    public int preSum(int i) {
        int ans = 0;
        for (; i != 0; i &= i - 1) ans += c[i];
        return ans;
    }
    
    public int single(int i) {
        int ans = c[i];
        int lca = i & i - 1;
        for (int j = i - 1; j > lca; j &= j - 1) {
            ans -= c[j];
        }
        return ans;
    }
    
    public int range(int l, int r) {
        int ans = 0;
        --l;
        while (l < r) {
            // 左边层数低，左边向前跳
            int lowbitl = l & -l, lowbitr = r & -r;
            if (l != 0 && lowbitl < lowbitr) {
                ans -= c[l];
                l -= lowbitl;
            } else {
                ans += c[r];
                r -= lowbitr;
            }
        }
        return ans;
    }
}

进阶

区间修改+单点查询

P3368 【模板】树状数组 2 - 洛谷

一些操作映射到前缀数组或者差分数组上可能会变得很简单

考虑序列 \(a\) 的差分数组 \(d\)，其中 \(d_i=a_i-a_{i-1}\)。

则对于序列 \(a\) 的区间 \([l,r]\) 加 \(value\) 可以转化为 \(d_l+value\) 和 \(d_{r+1}-value\)，也就是差分数组上的两次单点操作。

因此 \(a_x=\sum_{i=1}^xd_i\) 选择通过树状数组维护差分数组

import java.io.*;

public class Main {
    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));

    static int get() throws IOException {
        in.nextToken();
        return (int) in.nval;
    }

    static int n;
    static int[] d, a;

    static void add(int x, int val) {
        for (; x <= n; x += x & -x) {
            d[x] += val;
        }
    }

    static int getSum(int x) {
        int ans = 0;
        for (; x != 0; x &= x - 1) ans += d[x];
        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        n = get();
        int m = get();
        a = new int[n + 1];
        d = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = get();
        // 初始化 c[i] 为 0，仅在 c 上差分，可以不用对 a 进行差分
        while (m-- != 0) {
            int command = get();
            if (command == 1) {
                int x = get(), y = get(), k = get();
                if (k == 0) continue;
                add(x, k);
                if (y + 1 <= n) add(y + 1, -k);
            } else {
                int x = get();
                out.println(getSum(x) + a[x]);
            }
        }
        out.close();
    }
}

区间修改+区间查询

P3372 【模板】线段树 1 - 洛谷

对于区间查询 \(a[l\dots r]\)，同样选择转化为前缀查询 \(a[1\dots r]\) 及 \(a[1\dots l-1]\) 的差集

考虑序列 \(a\) 的差分数组 \(d\)，其中 \(d_i=a_i-a_{i-1}\)。由于差分数组的前缀和就是原数组，则 \(a_i=\sum_{j=1}^id_j\)

所以，前缀查询变为 \(\sum_{i=1}^x a_i=\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^id_j\)

上式可表述为下图蓝色部分面积

横着看看不出什么，但竖着看会发现每个数据加的个数与 \(x\) 有关

\(d_x\) 会加 \(1\) 次，\(d_{x-1}\) 会加 \(2\) 次，\(\dots\) ，\(d_2\) 会加 \(x-1\) 次，\(d_1\) 会加 \(x\) 次

也就是 \(d_i\) 会加 \(x-i+1\)，加法转化为乘法可得

又因为 \(\sum_{i=1}^xd_i\) 与 \(\sum_{i=1}^{x}d_i\times i\) 不能推导推导出另一个

因此需要用两个树状数组分别维护 \(d_i\) 与 \(d_i\times i\)

• 用于维护 \(d_i\) 的树状数组，对于每次对 \([l,r]\) 加 \(k\) 转化为 \(d[l]+k\) 与 \(d[r+1]-k\)

• 用于维护 \(d_i\times i\) 的树状数组，对于每次对 \([l,r]\) 加 \(k\) 转化为

  \((d[l]+k)\times l=d[l]\times l+l\times k\) 与

  \((d[r+1]-k)\times (r+1)=d[r+1]\times (r+1)-(r+1)\times k\)

  即在原来的基础上加上 \(l\times k\) 与减去 \((r+1)\times k\)

import java.io.*;

public class Main {

    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));

    static int get() throws IOException {
        in.nextToken();
        return (int) in.nval;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        int n = get(), m = get();
        int[] a = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            a[i] = get();
        }
        // 求前缀和
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            a[i] += a[i - 1];
        }
        // 同样的，初始化为 0，仅在空数组上差分
        BIT tree1 = new BIT(n), tree2 = new BIT(n);
        while (m-- != 0) {
            int command = get(), x = get(), y = get();
            if (command == 1) {
                long k = get();
                tree1.add(x, k);
                tree1.add(y + 1, -k);
                tree2.add(x, x * k);
                tree2.add(y + 1, -(y + 1) * k);
            } else {
                // A[1...y] 的和
                long preY = a[y] + (y + 1) * tree1.preSum(y) - tree2.preSum(y);
                // A[1...x-1] 的和
                --x;
                long preX = a[x] + (x + 1) * tree1.preSum(x) - tree2.preSum(x);
                out.println(preY - preX);
            }
        }
        out.close();
    }
}

class BIT {
    int n;
    long[] c;

    // 请保证 a 的数据从下标 1 开始
    public void init(int[] a) {
        // assert(a.length > n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            c[i] += a[i];
            int father = i + (i & -i);
            if (father <= n) c[father] += c[i];
        }
    }

    public BIT(int _n) {
        n = _n;
        c = new long[n + 1];
    }

    // 请保证 a 的数据从下标 1 开始
    public BIT(int[] a, int _n) {
        n = _n;
        c = new long[n + 1];
        init(a);
    }

    public void add(int i, long val) {
        if (i > n) return;
        for (; i <= n; i += i & -i) {
            c[i] += val;
        }
    }

    public long preSum(int i) {
        long ans = 0;
        for (; i != 0; i &= i - 1) ans += c[i];
        return ans;
    }

    public long single(int i) {
        long ans = c[i];
        int lca = i & i - 1;
        for (int j = i - 1; j > lca; j &= j - 1) {
            ans -= c[j];
        }
        return ans;
    }

    public long range(int l, int r) {
        long ans = 0;
        --l;
        while (l < r) {
            // 左边层数低，左边向前跳
            int lowbitl = l & -l, lowbitr = r & -r;
            if (l != 0 && lowbitl < lowbitr) {
                ans -= c[l];
                l -= lowbitl;
            } else {
                ans += c[r];
                r -= lowbitr;
            }
        }
        return ans;
    }
}

也可以写成封装类的形式

import java.io.*;

public class Main {

    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));

    static int get() throws IOException {
        in.nextToken();
        return (int) in.nval;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        int n = get(), m = get();
        int[] a = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            a[i] = get();
        }
        // 求前缀和
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            a[i] += a[i - 1];
        }
        ExBIT tree = new ExBIT(n);
        while (m-- != 0) {
            int command = get(), x = get(), y = get();
            if (command == 1) {
                tree.add(x, y, get());
            } else {
                out.println(a[y] - a[x - 1] + tree.range(x, y));
            }
        }
        out.close();
    }
}

class BIT {
    int n;
    long[] c;

    // 请保证 a 的数据从下标 1 开始
    public void init(int[] a) {
        // assert(a.length > n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            c[i] += a[i];
            int father = i + (i & -i);
            if (father <= n) c[father] += c[i];
        }
    }

    public BIT(int _n) {
        n = _n;
        c = new long[n + 1];
    }

    // 请保证 a 的数据从下标 1 开始
    public BIT(int[] a, int _n) {
        n = _n;
        c = new long[n + 1];
        init(a);
    }

    public void add(int i, long val) {
        if (i > n) return;
        for (; i <= n; i += i & -i) {
            c[i] += val;
        }
    }

    public long preSum(int i) {
        long ans = 0;
        for (; i != 0; i &= i - 1) ans += c[i];
        return ans;
    }

    public long single(int i) {
        long ans = c[i];
        int lca = i & i - 1;
        for (int j = i - 1; j > lca; j &= j - 1) {
            ans -= c[j];
        }
        return ans;
    }

    public long range(int l, int r) {
        long ans = 0;
        --l;
        while (l < r) {
            // 左边层数低，左边向前跳
            int lowbitl = l & -l, lowbitr = r & -r;
            if (l != 0 && lowbitl < lowbitr) {
                ans -= c[l];
                l -= lowbitl;
            } else {
                ans += c[r];
                r -= lowbitr;
            }
        }
        return ans;
    }
}

// 差分增量
class ExBIT {
    int n;
    BIT tree1, tree2;

    public ExBIT(int _n) {
        n = _n;
        tree1 = new BIT(_n);
        tree2 = new BIT(_n);
    }

    // 区间加对应差分数组的 两个端点操作
    public void add(int l, int r, long k) {
        tree1.add(l, k);
        tree1.add(r + 1, -k);
        tree2.add(l, l * k);
        tree2.add(r + 1, -(r + 1) * k);
    }

    // 差分增量的前缀和
    public long preSum(int i) {
        return (i + 1) * tree1.preSum(i) - tree2.preSum(i);
    }

    // 差分增量的区间和
    public long range(int l, int r) {
        return preSum(r) - preSum(l - 1);
    }
}

题目

P4939 Agent2 - 洛谷

题目链接

题意简述：有两个操作

1. 对区间 \([l,r]\) 的数均加 \(1\)
2. 查询第 \(x\) 个数的值

进阶中的 区间修改+单点查询

import java.io.*;

public class Main {
    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));

    static int get() throws IOException {
        in.nextToken();
        return (int) in.nval;
    }

    static int n;
    static int[] d;

    static void add(int x, int val) {
        for (; x <= n; x += x & -x) {
            d[x] += val;
        }
    }

    static int getSum(int x) {
        int ans = 0;
        for (; x != 0; x &= x - 1) ans += d[x];
        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        n = get();
        int m = get();
        d = new int[n + 1];
        while (m-- != 0) {
            int command = get();
            if (command == 0) {
                int x = get(), y = get();
                add(x, 1);
                if (y + 1 <= n) add(y + 1, -1);
            } else {
                int x = get();
                out.println(getSum(x));
            }
        }
        out.close();
    }
}

P5057 简单题 - 洛谷

题目链接

题目简述：有两个操作

1. 对区间 \([l,r]\) 的数进行反转（1变0，0变1）
2. 单点查询

反转等同于与 \(1\) 异或，于是题目变成了维护区间异或和单点查询，同样选择差分序列，只不过是异或的差分。

而异或也满足树状数组的两个要求，因此使用树状数组解决该题

import java.io.*;

public class Main {

    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));

    static int get() throws IOException {
        in.nextToken();
        return (int) in.nval;
    }

    static int n, m;
    static int[] c;

    static void change(int x) {
        for (; x <= n; x += x & -x) c[x] ^= 1;
    }

    static int askPre(int x) {
        int ans = 0;
        for (; x != 0; x &= x - 1) ans ^= c[x];
        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        n = get();
        m = get();
        c = new int[n + 1];
        while (m-- != 0) {
            int command = get();
            if (command == 1) {
                int l = get(), r = get();
                change(l);
                if (r < n) change(r + 1);
            } else {
                out.println(askPre(get()));
            }
        }
        out.close();
    }
}

P1908 逆序对 - 洛谷

题目链接

题意简述：求数组中的逆序对

求解逆序对可以用归并排序求解，此处不做讨论

从前向后遍历数组，同时将其加入到桶中，记录每个数出现的个数，并加上该位置之前且比当前数大的数的个数（有点绕，看例子可能会清晰点）

桶：用 \(cnt[i]\) 表示目前 \(i\) 出现的个数，初始化均为 \(0\)

\(ans\)：表示目前逆序对的个数，初始化为 \(0\)

数组: 1 3 5 4 2 1                            桶的下标: 0 1 2 3 4 5 6
一: 加入 1 到桶中 ans+=cnt[2...max]     ans=0      桶: 0 1 0 0 0 0 0
二: 加入 3 到桶中 ans+=cnt[4...max]     ans=0      桶: 0 1 0 1 0 0 0
三: 加入 5 到桶中 ans+=cnt[6...max]     ans=0      桶: 0 1 0 1 0 1 0
四: 加入 4 到桶中 ans+=cnt[5...max]     ans=1      桶: 0 1 0 1 1 1 0
五: 加入 2 到桶中 ans+=cnt[3...max]     ans=4      桶: 0 1 1 1 1 1 0
六: 加入 1 到桶中 ans+=cnt[2...max]     ans=8      桶: 0 2 1 1 1 1 0

也就是需要求 \(i\) 时刻，桶中 \([a_i+1,max]\) 的和，其中 \(max\) 为所有数据中的最大值

也即实现 单点加 与 区间查询，使用树状数组求解

但是题目中 \(max\le 10^9\)，树状数组的长度开不了那么大

可以发现，该题中我们只关心数据间的相对大小关系，而不关心数据本身大小，采用离散化的方式，将数据缩小（一种映射关系）

举个例子：

原数据: 1 100 200 500 50
新数据: 1 3 4 5 2
这样最大的数据就缩小到了 5

代码如下：

import java.io.*;
import java.util.Arrays;

public class Main {
    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));

    static int get() throws IOException {
        in.nextToken();
        return (int) in.nval;
    }

    static int n;
    static int[] d;

    static void add(int x, int val) {
        for (; x <= n; x += x & -x) {
            d[x] += val;
        }
    }

    static int getSum(int x) {
        int ans = 0;
        for (; x != 0; x &= x - 1) ans += d[x];
        return ans;
    }

    // 离散化
    static void lis(int[] a, int n) {
        int[] temp = new int[n];
        System.arraycopy(a, 0, temp, 0, n);
        Arrays.sort(temp);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            a[i] = Arrays.binarySearch(temp, a[i]) + 1;
        }
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        n = get();
        int[] num = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) num[i] = get();
        lis(num, n);
        d = new int[n + 1];
        long ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            add(num[i], 1);
            ans += i - getSum(num[i]) + 1;
        }
        out.println(ans);
        out.close();
    }
}

315. 计算右侧小于当前元素的个数 - 力扣

题目链接

同样是求逆序对，但是需要求的是每个位置的逆序对数量，就不能像上面那样顺序遍历了

class Solution {
    int n;
    void lis(int[] a) {
        int[] temp = new int[n];
        System.arraycopy(a, 0, temp, 0, n);
        Arrays.sort(temp);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            a[i] = Arrays.binarySearch(temp, a[i]) + 1;
        }
    }
    int[] c;
    void add(int i) {
        for (; i <= n; i += i & -i) {
            ++c[i];
        }
    }
    int getSum(int i) {
        int ans = 0;
        for (; i != 0; i &= i - 1) {
            ans += c[i];
        }
        return ans;
    }
    public List<Integer> countSmaller(int[] nums) {
        n = nums.length;
        c = new int[n + 1];
        lis(nums);
        List<Integer> ans = new ArrayList<>(n);
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            add(nums[i]);
            ans.add(getSum(nums[i] - 1));
        }
        Collections.reverse(ans);
        return ans;
    }
}

307. 区域和检索 - 数组可修改 - 力扣

题目链接

题意简述：有两个操作

1. 单点赋值
2. 区间和查询

单点赋值可以改为单点查询+单点修改（查询这个值再减去这个值）

当然也可以多开一个 \(nums\) 数组维护单点值

class NumArray {
    int n;
    BIT tree;
    int[] nums;
    public NumArray(int[] _nums) {
        n = _nums.length;
        nums = _nums;
        tree = new BIT(nums, n);
    }
    
    public void update(int index, int val) {
        tree.add(index + 1, val - nums[index]);
        nums[index] = val;
    }
    
    public int sumRange(int left, int right) {
        return tree.range(left + 1, right + 1);
    }
}
class BIT {
    int n;
    int[] c;

    public void init(int[] a) {
        // assert(a.length > n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            c[i] += a[i - 1];
            int father = i + (i & -i);
            if (father <= n) c[father] += c[i];
        }
    }
    
    public BIT(int _n) {
        n = _n;
        c = new int[n + 1];
    }

    public BIT(int[] a, int _n) {
        this(_n);
        init(a);
    }
    
    public void add(int i, int val) {
        if (i > n) return;
        for (; i <= n; i += i & -i) {
            c[i] += val;
        }
    }
    
    public int preSum(int i) {
        int ans = 0;
        for (; i != 0; i &= i - 1) ans += c[i];
        return ans;
    }
    
    public int single(int i) {
        int ans = c[i];
        int lca = i & i - 1;
        for (int j = i - 1; j > lca; j &= j - 1) {
            ans -= c[j];
        }
        return ans;
    }
    
    public int range(int l, int r) {
        int ans = 0;
        --l;
        while (l < r) {
            // 左边层数低，左边向前跳
            int lowbitl = l & -l, lowbitr = r & -r;
            if (l != 0 && lowbitl < lowbitr) {
                ans -= c[l];
                l -= lowbitl;
            } else {
                ans += c[r];
                r -= lowbitr;
            }
        }
        return ans;
    }
}

参考资料

树状数组 - OI Wiki

超详细的树状数组详解 - 蒟蒻kingxbz的小窝

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