HMMs and MRF and CRF
HMMs(隐马尔科夫模型):
状态序列不能直接被观测到(hidden)；
每一个观测被认为是状态序列的随机函数；
状态转移矩阵是随机函数，根据转移概率矩阵来改变状态。
HMMs与MRF的区别是只包含标号场变量，不包括观测场变量。
MRF(马尔科夫随机场)
有向图方法，便于分析因果关系，
将图像模拟成一个随机变量组成的网格。
其中的每一个变量具有明确的 对由其自身之外的随机变量 组成的近邻的依赖性(马尔科夫性)。
CRF(条件随机场),又称为马尔可夫随机域
一种用于标注和切分有序数据的条件概率模型。
从形式上来说CRF可以看做是一种无向图模型，
考察给定输入序列的标注序列的条件概率。
概率无向图方法，记得在语言模型中比较常见。
条件随机场（conditional random field，简称 CRF），是一种鉴别式机率模型，是随机场的一种，常用于标注或分析序列资料，如自然语言文字或是生物序列。
如同马尔可夫随机场，条件随机场为无向性之图模型，图中的顶点代表随机变量，顶点间的连线代表随机变量间的相依关系，在条件随机场当中，随机变量Y 的分布为条件机率，给定的观察值则为随机变量 X。原则上，条件随机场的图模型布局是可以任意给定的，一般常用的布局是链结式的架构，链结式架构不论在训练（training）、推论（inference）、或是解码（decoding）上，都存在有效率的算法可供演算。
条件随机场跟隐藏式马可夫模型常被一起提及，条件随机场对于输入和输出的机率分布，没有如隐藏式马可夫模型那般强烈的假设存在。
在视觉问题的应用：
HMMs:图像去噪、图像纹理分割、模糊图像复原、纹理图像检索、自动目标识别等
MRF: 图像恢复、图像分割、边缘检测、纹理分析、目标匹配和识别等
CRF: 目标检测、识别、序列图像中的目标分割
P.S.
标号场为隐随机场，它描述像素的局部相关属性，采用的模型应根据人们对图像的结构与特征的认识程度，具有相当大的灵活性。
空域标号场的先验模型主要有非因果马尔可夫模型和因果马尔可夫模型。
路径1-1-1-1的概率：0.4*0.45*0.5=0.09
路径2-2-2-2的概率:0.018
路径1-2-1-2:0.06
路径1-1-2-2:0.066
由此可得最优路径为1-1-1-1
而实际上，在上图中，状态1偏向于转移到状态2，而状态2总倾向于停留在状态2，这就是所谓的标注偏置问题，由于分支数不同，概率的分布不均衡，导致状态的转移存在不公平的情况。
PS：标注偏置问题存在于最大熵马尔可夫模型（MEMM）中，虽然MEMM解决了HMM输出独立性假设的问题，但是只解决了观察值独立的问题，状态之间的假设则是标注偏置问题产生的根源，CRF则解决了标注偏置问题，是HMM模型的进一步优化。
HMM模型中存在两个假设：一是输出观察值之间严格独立，二是状态的转移过程中当前状态只与前一状态有关(一阶马尔可夫模型)。
MEMM模型克服了观察值之间严格独立产生的问题，但是由于状态之间的假设理论，使得该模型存在标注偏置问题。
CRF模型解决了标注偏置问题，去除了HMM中两个不合理的假设，当然，模型相应得也变复杂了。
与最大熵模型相似，条件随机场（Conditional random fields，CRFs）是一种机器学习模型，在自然语言处理的许多领域（如词性标注、中文分词、命名实体识别等）都有比较好的应用效果。条件随机场最早由John D. Lafferty提出，其也是Brown90的作者之一，和贾里尼克相似，在离开IBM后他去了卡耐基梅隆大学继续搞学术研究，2001年以第一作者的身份发表了CRF的经典论文 “Conditional random fields: Probabilistic models for segmenting and labeling sequence data”。
关于条件随机场的参考文献及其他资料，Hanna Wallach在05年整理和维护的这个页面“conditional random fields”非常不错，其中涵盖了自01年CRF提出以来的很多经典论文（不过似乎只到05年，之后并未更新）以及几个相关的工具包(不过也没有包括CRF++），但是仍然非常值得入门条件随机场的读者参考，以下摘选自该网页。