超越.NET极限：我打造的高精度数值计算库

还记得那一天，我大学刚毕业，紧张又兴奋地走进人生第一场.NET工作面试。我还清楚地记得那个房间的气氛，空调呼呼地吹着，面试官的表情严肃而深沉。我们进行了一番交谈：

• 面试官，眼镜后的目光犀利：“你还有其它问题吗？”
• 我，有点颤抖但决心坚定：“可惜C#只有大整数BigInteger，没有大小数。如果我想计算特别大或者特别精确的数字，C#就无能为力。你看Java那边，有BigFloat，请问面试官，您知道C#这边处理大小数的需求有什么办法吗？”
• 面试官，微微一笑：“C#怎么没有大小数？decimal和双精度符点你没听说过吗？”
• 我，坚定地反驳：“不，这些还不够长，比如我要计算1后面有1万个0的数字，C#就算不了咯。”
• 面试官，眼神犀利：“你的问题很有趣，如果真的遇到了C#解决不了的问题，那可能更多的是我们需要重新审视这个问题……”
• 我，心里默默立下决心：“……”

就这样，这场面试，像一颗种子，在我心里种下了对高精度数值计算的追求。我知道大家都会说，谁还不会算个数呢？但其实，还真有很多需要高精度数值计算的情况。

比如你正在计算一个飞向火星的火箭的轨道，一个微小的计算误差，可能就会让火箭偏离数百万公里。或者你正在使用GPS导航，在城市的密集街道中，几十米的误差就可能让你迷路。又或者你是一个气候科学家，正在预测全球变暖的趋势，一点点的计算误差，就可能导致模型的预测结果大相径庭。

从那个时候起，我开始关注一些技术问题的本质，而不是仅仅将需求解决。我也很想知道C#/.NET的极限在哪，但可惜那个时候我还只是一个function caller，能力有限。

但随着时间的推移，我逐渐积累了更多的知识和技能。为实现当年的梦想，今年(2023)年初趁过年放假期间，我把自己关在家里，连续几个晚上熬夜工作，基于GMP和MPFR两个知名的开源项目，最终成功开发了.NET的高精度数值计算库：Sdcb.Arithmetic，现在经过多个版本的迭代，已经相当稳定了。

市面上已有的GMP和MPFR封装库及其问题

在打造我的.NET高精度数值计算库之前，我了解到市面上已经存在一些GMP和MPFR的封装库，如machinecognitis/Math.Gmp.Native和emphasis87/mpfr.NET。然而，我发现它们存在一系列的问题，这也是促使我开发新库的原因。

首先，让我们看看machinecognitis/Math.Gmp.Native。这个项目的主要问题是，尽管它提供了对GMP库的封装，但是这个封装仅限于低级API，换句话说，你需要对GMP库有深入的理解才能有效地使用这个库。这个项目没有提供任何高级API，因此它的易用性相当差。作为开发者，我们自然希望能够尽可能地提升开发效率，而这需要高级API的支持。一个好的封装库应该提供既直观又方便的API，而不是仅仅提供底层函数的封装。

接下来，我们看看emphasis87/mpfr.NET。这个项目虽然提供了对MPFR库的封装，但是这个项目已经有些年头了。更糟糕的是，它是通过C++/CLI来实现的，这使得它对.NET Core的支持并不是很好，同时也限制了它在Linux上的使用。在现今这个跨平台开发日益重要的时代，一个好的库应该能够在多种平台上进行无缝的运行。

此外，上述两个项目都存在一个共同的问题，那就是它们的版本都过于陈旧，且很久没有得到维护和更新。在快速变化的技术世界中，一个库如果连续数年没有更新，那么它可能会失去与最新技术接轨的机会，而这对于用户来说是无法接受的。

当然，除了以上的原因外，还有一个更重要的原因驱使我创造新的库，那就是我想要做出一个更好用的GMP和MPFR封装库。我相信，只有当我们不断地挑战自我，才能创造出更好的产品。在接下来的章节中，我将介绍我是如何实现这一目标的。

NuGet包简介

这个项目分为两部分，GMP和MPFR：

• GMP可以支持高精度整数、小数和分数，然而高精度小数的功能有限，例如不支持三角函数Sin/Cos。
• MPFR主要用于处理高精度小数，功能更为丰富，提供超过300个MPFR库函数。

如果你熟悉我的另一个项目PaddleSharp，你会发现这里同样需要同时安装.NET封装包和动态库包。其中带runtime的包为动态库包（例如runtime.win64表示支持64位Windows）。值得一提的是，MPFR依赖于GMP库，因此如果你安装Sdcb.Arithmetic.Mpfr，系统会自动带上Sdcb.Arithmetic.Gmp。

对于Linux用户，你可能并不需要安装我的Linux动态库包。Linux系统大部分都自带了libgmp.so动态库，你还可以通过系统自带的包管理工具安装libmpfr.so。例如，Ubuntu 22.04用户可以使用以下命令进行安装（这也意味着你不需要安装*.runtime.linux64的NuGet包）：

sudo apt-get install libmpfr-dev

最后，所有的Windows动态库包都是由我自己使用vcpkg编译的，而Linux动态库包则来自Ubuntu 22.04。因此，如果你使用我的动态库包，可能主要只支持Ubuntu 22.04和Debian。

值得一提的是，GMP和MPFR的动态库是GPL或者LGPL协议，因此我的动态库nuget包和.NET封装包的协议不相同，.NET封装包是MIT协议，动态库包是LGPL协议。

libgmp

Package Id	Version	License	Notes
Sdcb.Arithmetic.Gmp		MIT	.NET binding for libgmp
Sdcb.Arithmetic.Gmp.runtime.win64		LGPL	native lib in windows x64
Sdcb.Arithmetic.Gmp.runtime.win32		LGPL	native lib in windows x86
Sdcb.Arithmetic.Gmp.runtime.linux64		LGPL	native lib in Linux x64

mpfr

Package Id	Version	License	Notes
Sdcb.Arithmetic.Mpfr		MIT	.NET binding for libmpfr
Sdcb.Arithmetic.Mpfr.runtime.win64		LGPL	native lib in windows x64
Sdcb.Arithmetic.Mpfr.runtime.win32		LGPL	native lib in windows x86
Sdcb.Arithmetic.Mpfr.runtime.linux64		LGPL	native lib in linux x64

使用示例 - 计算2^65536的最后20位数字

在这个章节中，我们首先展示如何使用.NET自带的大整数类进行数值计算，然后将演示如何使用我们的库Sdcb.Arithmetic进行同样的计算。然后，我们将展示如何通过使用C API来优化我们的库，最后，我们将介绍一种更高级的优化策略——使用InplaceAPI。

原生.NET实现

许多程序员可能已经熟悉.NET Framework 3.5引入的大整数类System.Numeric.BigInteger。我们可以使用这个类来计算2^65536的最后20位数字，代码如下：

Stopwatch sw = Stopwatch.StartNew();
int count = 10;

BigInteger b = new BigInteger();
for (int c = 0; c < count; ++c)
{
	b = 1;
	for (int i = 1; i <= 65536; ++i)
	{
		b *= 2;
	}
}
Console.WriteLine($"耗时：{sw.Elapsed.TotalMilliseconds / count:F2}ms");
Console.WriteLine($"2^65536最后20位数字：{b.ToString()[^20..]}");

在我的i9-9880h电脑上，这个程序的运行结果如下：

耗时：94.00ms
2^65536最后20位数字：45587895905719156736

使用Sdcb.Arithmetic库

下面我们将展示如何使用我们的库Sdcb.Arithmetic来进行同样的计算。为了安装这个库，你需要使用以下的NuGet包：Sdcb.Arithmetic.Gmp和Sdcb.Arithmetic.Gmp.runtime.win64（或其它对应环境包）。

Stopwatch sw = Stopwatch.StartNew();
int count = 10;

GmpInteger b = new GmpInteger();
for (int c = 0; c < count; ++c)
{
	b = 1;
	for (int i = 1; i <= 65536; ++i)
	{
		b *= 2;
	}
}

Console.WriteLine($"耗时：{sw.Elapsed.TotalMilliseconds / count:F2}ms");
Console.WriteLine($"2^65536最后20位数字：{b.ToString()[^20..]}");

运行结果如下：

耗时：89.52ms
2^65536最后20位数字：45587895905719156736

可以看到，Sdcb.Arithmetic.Gmp的结果与.NET原生实现相匹配，并且计算速度相近。

性能优化

虽然上述Gmp代码已经达到了与原生.NET实现相近的性能，但是我们可以通过使用底层的C API来进一步优化我们的库。以下是优化后的代码：

// 安装NuGet包：Sdcb.Arithmetic.Gmp
// 安装NuGet包：Sdcb.Arithmetic.Gmp.runtime.win64 （或其它对应环境包）
// 函数需要标注unsafe
// 项目需要启用unsafe编译选项
Stopwatch sw = Stopwatch.StartNew();
int count = 10;
Mpz_t mpz;
GmpLib.__gmpz_init((IntPtr)(&mpz));

for (int c = 0; c < count; ++c)
{	
	GmpLib.__gmpz_set_si((IntPtr)(&mpz), 1);
	for (int i = 1; i <= 65536; ++i)
	{
		GmpLib.__gmpz_mul_si((IntPtr)(&mpz), (IntPtr)(&mpz), 2);
	}
}
sw.Stop();

IntPtr ret = GmpLib.__gmpz_get_str(IntPtr.Zero, 10, (IntPtr)(&mpz));
string wholeStr = Marshal.PtrToStringUTF8(ret)!;
GmpMemory.Free(ret);

Console.WriteLine($"耗时：{sw.Elapsed.TotalMilliseconds / count:F2}ms");
Console.WriteLine($"2^65536最后20位数字：{wholeStr[^20..]}");

GmpLib.__gmpz_clear((IntPtr)(&mpz));

在同一台电脑上，输出结果如下：

耗时：20.87ms
2^65536最后20位数字：45587895905719156736

你可以参考下面的源代码了解我是如何封装PInvoke API的：

• https://github.com/sdcb/Sdcb.Arithmetic/blob/master/Sdcb.Arithmetic.Gmp/GmpLib.cs
• https://github.com/sdcb/Sdcb.Arithmetic/blob/master/Sdcb.Arithmetic.Mpfr/MpfrLib.cs

20.87ms显然比之前基于高级API封装的GmpInteger速度89.52ms快很多，但易用性却非常差，这些代码会很难理解、很难维护、也很容易造成内存泄露问题。

值得注意的是，根据最佳实践，上面的代码涉及内存释放时（__gmpz_clear和GmpMemory.Free），本质需要改为多个try...finally来避免在调用前触发异常而导致内存泄露，但加上try...finally会导致代码简洁性进一步下降。

速度易用两全其美 - 使用InplaceAPI优化

为了做到在性能和可维护性之间找到平衡，我还开发了InplaceAPI，这是一个直接调用底层API，但用起来很方便的函数。以下是使用该API后的代码：

// 安装NuGet包：Sdcb.Arithmetic.Gmp
// 安装NuGet包：Sdcb.Arithmetic.Gmp.runtime.win64 （或其它对应环境包）
Stopwatch sw = Stopwatch.StartNew();
int count = 10;

using GmpInteger b = new GmpInteger();
for (int c = 0; c < count; ++c)
{
	b.Assign(1);
	for (int i = 1; i <= 65536; ++i)
	{
		GmpInteger.MultiplyInplace(b, b, 2);
	}
}

Console.WriteLine($"耗时：{sw.Elapsed.TotalMilliseconds / count:F2}ms");
Console.WriteLine($"2^65536最后20位数字：{b.ToString()[^20..]}");

运行结果如下：

耗时：21.13ms
2^65536最后20位数字：45587895905719156736

可见代码相比最开始的和如下变化：

• GmpInteger加上了using，值得一提的是，我同时也写了Finalizer，因此它同时也支持不写using，但内存回收较慢；
• 赋值时不使用=，而是改为调用.Assign()函数，这样可以避免创建临时对象
• 计算乘法时，我使用了MultiplyInplace()而非运算符重载，这样可以省掉创建大量临时对象；

这个速度21.13ms相比纯粹使用C API的20.87ms稍慢，但这几乎可以认为是误差范围之内，但代码的简洁性、可维护性比C API简单很多。

对比Java

作为参考，当然少不了和Java的性能对比，这是用于对比的Java代码：

import java.math.BigInteger;
import java.time.Duration;
import java.time.Instant;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Instant start = Instant.now();

        int count = 10;
        BigInteger b = BigInteger.ONE;

        for (int c = 0; c < count; ++c) {
            b = BigInteger.ONE;
            for (int i = 1; i <= 65536; ++i) {
                b = b.multiply(BigInteger.valueOf(2));
            }
        }

        Instant finish = Instant.now();
        long timeElapsed = Duration.between(start, finish).toMillis();

        String str = b.toString();
        String last20Digits = str.substring(str.length() - 20);

        System.out.printf("耗时：%f ms\n", (double) timeElapsed / count);
        System.out.println("2^65536最后20位数字：" + last20Digits);
    }
}

我使用的Java版本是OpenJDK version "11.0.16.1" 2022-08-12 LTS，使用相同的电脑，输出结果如下：

耗时：103.100000 ms
2^65536最后20位数字：45587895905719156736

可见速度比.NET原生的BigInteger稍慢。

总结 - 性能比较表格

使用示例 - 计算100万位π

在这个示例中，我将展示Sdcb.Arithmetic.Gmp计算小数点后100万位π的计算方式，这段代码著名的Chudnovsky算法来计算圆周率π的值，该算法由Chudnovsky兄弟在1980年代提出的，它基于Ramanujan的公式，但在计算精度和效率上进行了改进。这个算法的一个显著特点是它的超级线性收敛性，即每增加一个迭代步骤，就可以大幅增加精确到的小数位数。实际上，Chudnovsky算法每次迭代大约能增加14个准确的小数位数。这使得它非常适合计算几百万位甚至更高的π值。

// Install NuGet package: Sdcb.Arithmetic.Gmp
// Install NuGet package: Sdcb.Arithmetic.Gmp.runtime.win-x64(for windows)
using Sdcb.Arithmetic.Gmp;

Stopwatch sw = Stopwatch.StartNew();
using GmpFloat pi = CalcPI();

double elapsed = sw.Elapsed.TotalMilliseconds;
Console.WriteLine($"耗时：{elapsed:F2}ms");
Console.WriteLine($"结果：{pi:N1000000}");

GmpFloat CalcPI(int inputDigits = 1_000_000)
{
    const double DIGITS_PER_TERM = 14.1816474627254776555; // = log(53360^3) / log(10)
    int DIGITS = (int)Math.Max(inputDigits, Math.Ceiling(DIGITS_PER_TERM));
    uint PREC = (uint)(DIGITS * Math.Log2(10));
    int N = (int)(DIGITS / DIGITS_PER_TERM);
    const int A = 13591409;
    const int B = 545140134;
    const int C = 640320;
    const int D = 426880;
    const int E = 10005;
    const double E3_24 = (double)C * C * C / 24;

    using PQT pqt = ComputePQT(0, N);

    GmpFloat pi = new(precision: PREC);
    // pi = D * sqrt((mpf_class)E) * PQT.Q;
    pi.Assign(GmpFloat.From(D, PREC) * GmpFloat.Sqrt((GmpFloat)E, PREC) * (GmpFloat)pqt.Q);
    // pi /= (A * PQT.Q + PQT.T);
    GmpFloat.DivideInplace(pi, pi, GmpFloat.From(A * pqt.Q + pqt.T, PREC));
    return pi;

    PQT ComputePQT(int n1, int n2)
    {
        int m;

        if (n1 + 1 == n2)
        {
            PQT res = new()
   
            {
                P = GmpInteger.From(2 * n2 - 1)
            };
            GmpInteger.MultiplyInplace(res.P, res.P, 6 * n2 - 1);
            GmpInteger.MultiplyInplace(res.P, res.P, 6 * n2 - 5);

            GmpInteger q = GmpInteger.From(E3_24);
            GmpInteger.MultiplyInplace(q, q, n2);
            GmpInteger.MultiplyInplace(q, q, n2);
            GmpInteger.MultiplyInplace(q, q, n2);
            res.Q = q;

            GmpInteger t = GmpInteger.From(B);
            GmpInteger.MultiplyInplace(t, t, n2);
            GmpInteger.AddInplace(t, t, A);
            GmpInteger.MultiplyInplace(t, t, res.P);
            // res.T = (A + B * n2) * res.P;            
            if ((n2 & 1) == 1) GmpInteger.NegateInplace(t, t);
            res.T = t;

            return res;
        }
        else
        {
            m = (n1 + n2) / 2;
            PQT res1 = ComputePQT(n1, m);
            using PQT res2 = ComputePQT(m, n2);
            GmpInteger p = res1.P * res2.P;
            GmpInteger q = res1.Q * res2.Q;

            // t = res1.T * res2.Q + res1.P * res2.T
            GmpInteger.MultiplyInplace(res1.T, res1.T, res2.Q);
            GmpInteger.MultiplyInplace(res1.P, res1.P, res2.T);
            GmpInteger.AddInplace(res1.T, res1.T, res1.P);
            res1.P.Dispose();
            res1.Q.Dispose();
            return new PQT
            {
                P = p,
                Q = q,
                T = res1.T,
            };
        }
    }
}

public ref struct PQT
{
    public GmpInteger P;
    public GmpInteger Q;
    public GmpInteger T;

    public readonly void Dispose()
    {
        P?.Dispose();
        Q?.Dispose();
        T?.Dispose();
    }
}

在我的i9-9880h电脑中，输出如下（100万位中间有...省略）：

耗时：435.35ms
结果：3.141592653589793238462643383...83996346460422090106105779458151

可见速度是非常快的，100万位π的值可以在这个链接进行参考。

同时也作为比较，我也参考了Github上网友写的这段C++计算100万位π的代码：https://gist.github.com/komasaru/68f209118edbac0700da

我使用VS2022通过Release-x64编译，在同一台电脑中，输出如下：

**** PI Computation ( 1000000 digits )
TIME (COMPUTE): 0.425 seconds.
TIME (WRITE)  : 0.103 seconds.

我也参考了Github上另一段用C写的同样计算100万位π的代码：https://github.com/natmchugh/pi/blob/master/gmp-chudnovsky.c

我同样使用VS2022通过Release-x64编译，输出如下：

#terms=70513, depth=18
sieve   time =  0.003
..................................................

bs      time =  0.265
   gcd  time =  0.000
div     time =  0.037
sqrt    time =  0.022
mul     time =  0.014
total   time =  0.343
   P size=1455608 digits (1.455608)
   Q size=1455601 digits (1.455601)

这是3种编程语言计算100万位π耗时的比较表格：

可见C#和C++几乎不相上下（在我的本地测试中甚至有时C#更快），使用C确实稍快，但从代码可以看出C的实现方式有许多优化，比如递归求值部分的内存是一次性分配的，速度快的主要原因是算法有优化。

尾声

在这篇文章中，我分享了我从大学毕业的第一场面试中获得的启示，以及我如何把这种启示转化为实践，打造了一个.NET的高精度数值计算库——Sdcb.Arithmetic。这个开源项目弥补了C#在处理大数运算方面的不足，打破了Java的BigFloat优势，使得C#也能轻松处理高精度计算的需求。

这个库包括GMP和MPFR两部分，前者支持高精度的整数、小数和分数的运算，后者则是处理高精度小数的利器，提供了超过300个MPFR库函数。通过我对这个库的介绍和展示，你可以看到这个库在处理大数计算，例如计算2^65536的最后20位数字，或者计算π的百万位小数上的表现非常出色。

我深信开源的力量，因此我把这个项目开源了，并希望能够帮助到所有需要高精度数值计算的.NET开发者。想尝试Sdcb.Arithmetic的朋友，欢迎访问我的Github，我希望你能去我的项目主页上给我一个star?，这将对我是莫大的鼓励。我会继续保持对开源的热爱，做出更多有价值的贡献。

喜欢的朋友，也请关注我的微信公众号：【DotNet骚操作】

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