CSP 2023 T4 贪心证明

发布时间 2023-10-31 07:57:33作者: _hjy

\(t_i\) 为第 \(i\) 个点最晚要什么时候种。

如果有两个点 \(s_1\)\(s_2\),满足 \(t_{s_1} <t_{s_2}\),但是先种 \(s_2\) 可行,则:

  1. \(LCA(s1,s2) = s1\)

\(s1\)\(s2\) 祖先,\(s1\) 一定被先种

  1. \(LCA(s1,s2) = s2\)

\(s2\)\(s1\) 祖先,与贪心策略相同

  1. \(LCA(s1,s2) \not \in \{s1,s2\}\)

考虑种 \(s_2\) 时间为 \(d\),则之后 \(s_1\) 还能被种,记两点树上距离为 \(x\),则有 \(t_{s_1} \geq d + x\),而对于其它的 \(i\) 又有 \(t_i \geq t_{s_1}\),则先种 \(s_1\) 后种 \(s_2\) 仍然满足条件。

容易发现对于任何一种种的方案都能拆成若干以上情况。