从之前的几篇文章介绍可以看出，JPEG编码最重要的一步就是DCT变换，将空域的图像信号转换到频域，达到良好的去空间相关性的性能，DCT变换本身是无损的。因此DCT变换在图像编码领域被广泛应用。
一、一维DCT变换
在JPEG编码中使用了二维DCT变换，一维DCT是二维的基础，我们先看下一维DCT变换。一维DCT变换共有8种形式，其中最常用的是第二种形式，由于其运算简单、适用范围广。我们在这里只讨论这种形式，其表达式如下：
其中，f(i)为原始的信号，F(u)是DCT变换后的系数，N为原始信号的点数，c(u)可以认为是一个补偿系数，可以使DCT变换矩阵为正交矩阵。对应的逆DCT变换公式为：
二、二维DCT变换
二维DCT变换其实是在一维DCT变换的基础上再做了一次DCT变换，其公式如下：
由公式我们可以看出，上面只讨论了二维图像数据为方阵的情况，在实际应用中，如果不是方阵的数据一般都是补齐之后再做变换的，重构之后可以去掉补齐的部分，得到原始的图像信息，这个尝试一下，应该比较容易理解。
如果原始信号是图像等相关性较大的数据的时候，我们可以发现在变换之后，系数较大的集中在左上角，而右下角的几乎都是0，其中左上角的是低频分量，右下角的是高频分量，低频系数体现的是图像中目标的轮廓和灰度分布特性，高频系数体现的是目标形状的细节信息。DCT变换之后，能量主要集中在低频分量处，这也是DCT变换去相关性的一个体现。
之后在量化和编码阶段，我们可以采用“Z”字形编码，这样就可以得到大量的连续的0，这大大简化了编码的过程。
三、二维DCT反变换
在图像的接收端，根据DCT变化的可逆性，我们可以通过二维DCT反变换恢复出原始的图像信息，其公式如下：
四、分块DCT变换
在实际的图像处理中，DCT变换的复杂度其实是比较高的，所以通常的做法是，将图像进行分块，然后在每一块中对图像进行DCT变换和反变换，在合并分块，从而提升变换的效率。具体的分块过程中，随着子块的变大，算法复杂度急速上升，但是采用较大的分块会明显减少图像分块效应，所以，这里面需要做一个折中，在JPEG编码中，采用8*8的分块。