A. Alternative Architecture
当倾斜放置时，一定可以构成直角三角形。枚举高用勾股定理算出底，然后在利用相似三角形即可算出另一条构成的直角三角形的边长，此时判断边是否都是整数即可。
原图实际上点在格子上，一个常见的套路是边减一就可以转换成点在定点上。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int32_t main() {
int a , b , res = 1;
cin >> a >> b , a -- , b --;
if( a < b ) swap( a , b);
for( int x = 1 , y ; x < a ; x ++ ){
y = sqrt( a * a - x * x );
if( x * x + y * y != a * a ) continue;
if( (x * b) % a == 0 and ( y * b ) % a == 0 ) {
res ++;
}
}
if( a != b ) res *= 2;
cout << res << "\n";
return 0;
}
B. Breeding Bugs
枚举任意两个数，如果和为质数则在两个点之间连接一条边。这样的话，题目就转换成了求最大独立集的问题。
现在加上有三个点\(a,b,c\)满足\(a+b=p_1,b+c=p_2\)，再不考虑质数是二的情况下，\(a+c=p_1+p_2-2\times c\)。可以知道的是\(a+c\)一定是合数所以\(a,c\)之间不会连边。在考虑2的情况，可以想到的是只有\(1+1=2\)所以 1 最多只能选择一个，所以要提前把图中多余的\(1\)删掉。这样的话图中就不会出现奇环的情况，则图一定是二分图。
二分图最大独立集=点数-最大匹配点数，二分图的最大匹配用匈牙利算法求。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 2e7+5;
bitset<M>notPrime;//ä¸æ¯ç´ æ°
void getPrimes(){
int n = 2e7;
notPrime[1] = notPrime[0] = 1;
for( int i = 2 ; i * i <= n ; i ++ ){
if( notPrime[i] ) continue;
for( int j = i * 2 ; j <= n ; j += i )
notPrime[j] = 1;
}
}
const int N = 755;
int c[N], p[N];
vector<int> e[N], vis;
void paint(int x, int z) {
c[x] = z, vis[x] = 1;
for (auto y: e[x]) {
if (vis[y]) continue;
paint(y, z ^ 1);
}
}
bool match(int i) {
for (auto j: e[i]) {
if (!vis[j]) {
vis[j] = 1;
if (p[j] == 0 or match(p[j])) {
p[j] = i;
return true;
}
}
}
return false;
}
int read() {
int x = 0, ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
while (ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0', ch = getchar();
return x;
}
int32_t main() {
int n, vis1 = 0;
n = read();
vector<int> a(1);
for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
x = read();
if (x == 1) {
if (vis1 == 0) vis1 = 1, a.push_back(1);
} else a.push_back(x);
}
n = a.size() - 1;
getPrimes();
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j < i; j++)
if (notPrime[ a[i] + a[j] ] == false )
e[i].push_back(j), e[j].push_back(i);
vis = vector<int>(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (vis[i]) continue;
paint(i, 0);
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (c[i]) continue;
vis = vector<int>(n + 1);
if (match(i)) ans++;
}
cout << n - ans << "\n";
return 0;
}
C. Chaotic Construction
单点修改区间查询，可以使用树状数组实现。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 256;
struct BinaryIndexedTree {
#define lowbit(x) ( x & -x )
int n;
vector<int> b;
BinaryIndexedTree(int n) : n(n), b(n + 1, 0) {};
BinaryIndexedTree(vector<int> &c) {
n = c.size(), b = c;
for (int i = 1, fa = i + lowbit(i); i <= n; i++, fa = i + lowbit(i))
if (fa <= n) b[fa] += b[i];
}
void add(int i, int y) {
for (; i <= n; i += lowbit(i)) b[i] += y;
return;
}
int calc(int i) {
int sum = 0;
for (; i; i -= lowbit(i)) sum += b[i];
return sum;
}
int calc(int l, int r) {
if (l > r) return 0ll;
return calc(r) - calc(l - 1);
}
};
int32_t main() {
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
int n, q, sum = 0;
cin >> n >> q;
BinaryIndexedTree bit(n);
vector<int> b(n + 1);
string op;
for (int x, y, cnt; q; q--) {
cin >> op;
if (op == "-") {
cin >> x;
if (b[x] == 0) b[x] = 1, bit.add(x, 1), sum++;
} else if (op == "+") {
cin >> x;
if (b[x] == 1) b[x] = 0, bit.add(x, -1), sum--;
} else {
cin >> x >> y;
if (x > y) swap(x, y);
cnt = bit.calc(x, y);
if( b[x] == 1 or b[y] == 1 ) cout << "impossible\n";
else if (cnt == 0 or cnt == sum) cout << "possible\n";
else cout << "impossible\n";
}
}
return 0;
}
其实我们这道题并不需要准确的知道两个点之间具体有多少个，所以我们也可以使用set维护当前所有的路障
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int32_t main() {
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
int n, q;
cin >> n >> q;
set<int> vis;
string op;
for (int x, y; q; q--) {
cin >> op;
if (op == "+") cin >> x, vis.erase(x);
else if (op == "-") cin >> x, vis.insert(x);
else {
cin >> x >> y;
if (x > y) swap(x, y);
if (vis.empty()) cout << "possible\n";
else if (vis.count(x) or vis.count(y))cout << "impossible\n";
else if (x > *vis.rbegin()) cout << "possible\n";
else if (y < *vis.begin()) cout << "possible\n";
else if (x < *vis.begin() and *vis.rbegin() < y) cout << "possible\n";
else if ( *vis.lower_bound(x) > y )cout << "possible\n";
else cout << "impossible\n";
}
}
return 0;
}
D. Diabolic Doofenshmirtz
首先不考虑\(t\)递增的条件，我们每一次询问\(t\)会得到\(x=t\mod n\)，假设\(n=4\)
| \(t\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 |
这样的话发现\(x<t\)满足单调性，且满足条件\(t\)的最小值就是\(n\)，这样我们可以二分做这道题。
现在再来考虑\(t\)必须满足递增的情况，首先当\(t>x\)时\(t-x=kn\)，我们上一次询问的\(t_{last}>t\)时，可以询问\(t’\)，其中\(t'\)满足\(t_last<t’,t’=t+kn\)。为什么？因为\(t’\equiv t(\mod n)\)
这样我们就可以考虑二分做这道题。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int32_t main() {
int l = 1, r = 1e12, res = -1, kn = LLONG_MAX;
for (int mid, lastT = -1, t, k , x ; l <= r;) {
mid = (l + r) >> 1, t = mid;
if (t <= lastT) {
k = (lastT - t + kn) / kn;
t = t + k * kn;
}
cout << "? " << t << endl << flush;
lastT = t;
cin >> x;
if( x < mid ) res = mid , r = mid - 1 , kn = min( kn , mid - x );
else l = mid + 1;
}
cout << "! "<< res << endl << flush;
return 0;
}
还有一种考虑是倍增，从 1 开始问，每次乘 2，第一次满足\(x < t\)时，$n = t - x $
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int32_t main() {
int t = 1 , x ;
for( ; true ; t *= 2 ){
cout << "? " << t << endl;
cin >> x;
if( x < t ) break;
}
cout << "! " << t - x << endl;
return 0;
}
E. Enjoyable Entree
其实可以设两种的汤的数量是 1 ，则\(f[1] = 1 , f[2] = 0, g[1]=0,g[2]=1\)。
当\(i>3\)时，有\(f[i]=f[i-1]+2\times f[i-2],g[i]=g[i-1]+2\times g[i-2]\)，同时可以发现\(f[i]=g[i-1]\)
这样的话，第\(i\)次的占比分别为\(\frac{f[i]}{f[i]+g[i]},\frac{g[i]}{f[i]+g[i]}\)
并且我们发现这个比值趋于稳定在$\frac{1}{3},\frac 2 3 $，所以当本次的比值和上一次的比值变化小于一定的阈值后可以直接输出答案。
这个阈值我设置为\(10^{-9}\)轻松通过。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ldb = long double;
#define int long long
constexpr ldb eps = 1e-9;
int32_t main() {
int n;
cin >> n;
if (n == 1) {
cout << "100 0\n";
return 0;
} else if (n == 2) {
cout << "0 100\n";
return 0;
}
ldb x = 0, y = 1, z, last = y / (x + y), now;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
z = x * 2.0 + y, now = z / (y + z);
x = y, y = z;
if (abs(now - last) < eps) break;
last = now;
}
cout << fixed << setprecision(10) << 100.0 * x / (x + y) << " " << 100.0 * y / (x + y) << "\n";
return 0;
}
歪个题，如果不需要比值，而是准确的两个\(f[i],g[i]\)的话，这类问题我们可以矩阵快速幂解决，本题的转移矩阵如下。
\[\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
1 & 1
\end{bmatrix}^{n-2}
\]
H. Hardcore Hangman
首先我们先询问26个字母，这样可以得到字符串的长度。
然后我们给英文字母标号，标号可以表示成 5 位二进制数。
开一个和字符串等长度的数组。
我们第\(i\)询问，所有标号中含有\(2^i\)的字母，并给对应下标加上\(2^i\)。
从 \(i\)从 0 到 4 询问后，数组中的数就对应了字母的标号输出即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int32_t main() {
cout << "? ";
for (char i = 'a'; i <= 'z'; i++) cout << i;
cout << endl;
int n;
cin >> n;
for (int i = 1, x; i <= n; i++) cin >> x;
vector<int> a(n + 1);
for (int i = 0, t; i < 5; i++) {
cout << "? ";
for (int j = 0; j < 26; j++)
if (j & (1 << i)) cout << (char) ('a' + j);
cout << endl;
cin >> t;
for (int j = 1, x; j <= t; j++)
cin >> x, a[x] |= (1 << i);
}
cout << "! ";
for (int i = 1; i <= n; i++)
cout << (char) ('a' + a[i]);
cout << endl;
return 0;
}
I. Improving IT
因为题目的特殊限制\(n\cdot m < 5\times 10^5\)。所以直接\(O(nm)\)的 dp 即可。
当然还有这一种思路是建图然后跑最短路。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int32_t main() {
int n,m;cin>>n>>m;
vector<int> w(n+2);
vector<vector<int>>ve(n+1 , vector<int>(m+1));
for(int i=1;i<=n;++i){
cin>> w[i];
for( int j = 1 ; j <= min( m , n - i + 1 ) ; j ++ )
cin >> ve[i][j];
}
int res = LLONG_MAX;
vector<int>dp(n+5,5e14);
dp[1] = w[1];
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=max(1ll,i-m);j<i;++j){
dp[i] = min( dp[i] , dp[j] + w[i] - ve[j][i-j] );
}
if( i + m > n )
res = min( res , dp[i] - ve[i][n-i+1]);
}
cout << res << "\n";
return 0;
}
J. Jesting Jabberwocky
首先我们可以全拍列出排列方式共 24 种。
然后 dp 求一下最小花费即可。\(f[i][j]\)表示把前\(i\)位合法，且最后一个数是\(j\)的最小代价，这里用\(j=0\)表示把前面的数字全部移动到后面。
转移的时候只需要考虑当前数字应不应该放在这里。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector p = {0, 1, 2, 3, 4};
constexpr int inf = 1e9;
int res = inf;
int32_t main() {
string s;
cin >> s;
int n = s.size();
vector<int> a(1);
for (auto i: s) {
if (i == 'h') a.push_back(1);
else if (i == 'c') a.push_back(2);
else if (i == 'd') a.push_back(3);
else a.push_back(4);
}
do {
vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(5, inf));
f[0][0] = 0;
for (int i = 1, t; i <= n; i++) {
t = p[a[i]];
for (int j = 0; j <= 4; j++)
if (j != t) f[i][j] = f[i - 1][j] + 1;
for (int j = 0; j <= t; j++)
f[i][t] = min(f[i][t], f[i - 1][j]);
}
res = min(res, *min_element(f[n].begin(), f[n].end()));
} while (next_permutation(p.begin(), p.end()));
cout << res << "\n";
return 0;
}
K. K.O. Kids
按照题意模拟
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int32_t main() {
int n , k , p = 0;
string s;
cin >> n >> k >> s;
for( auto i : s){
if( p == 0 and i == 'R' ) k --;
else if( p == 1 and i == 'L' ) k --;
else p ^= 1;
}
cout << max(0, k ) ;
}
L. Lots of Land
猜到的一个结论是，如果合法的话，一定存在一种情况使得所有的矩形形状相同，这样我们枚举形状，然后这个形状能不能放进去即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int32_t main() {
int n, m, k;
cin >> n >> m >> k;
if ((n * m) % k != 0) {
cout << "IMPOSSIBLE\n";
return 0;
}
int s = n * m / k;
for (int x = 1, y; x <= s; x++) {
if( s % x != 0 ) continue;
y = s / x;
if (n % x or m % y) continue;
for( int i = 0 , t = m / y ; i < n ; i ++ ){
for( int j = 0 ; j < m ; j ++ ){
cout << char( 'A' + (i / x) * t + j / y) ;
}
cout << "\n";
}
return 0;
}
cout << "IMPOSSIBLE\n";
return 0;
}
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