前述各种静态博弈实例均有一个共同点，即每个参与者完全知晓自己和对手的支付相关信息。但实际问题中，经常出现某个（或所有）参与者对于其他参与者（甚至自身）支付或策略的信息了解并不充分的情况。一般地，在不完全信息博弈中，并非所有人均知晓同样的信息。博弈参与者除了均知晓的公共信息外，还具有各自的私有信息，后面用参与者的类型集来表示。由于参与者的私有信息对其他参与者是未知的，因此在决策时，参与者只能对对手的私有信息进行猜测，同时还要对其他参与者对自己的私有信息的猜测作出猜测，这种猜测之猜测序列可以无限持续下去。这一点与共同知识非常相似，所不同的时，基于公共知识可得到的是确定性的推断，而不完全信息下，参与者只能获得一定条件下的概率性猜测。
一、不完全信息静态博弈案例
1.1 暗标拍卖
暗标拍卖通常有这样几个基本特征：(1)密封递交标书; (2)统一时间公证开标; (3) 标价最高者以所报标价中标。
由于博弈方的标书密封递交和同时开标, 各博弈方在选择策略之前都无法知道其他博弈方策略, 而且是一次性选择, 因此这是静态博弈问题。各博弈方无法知道确知其他博弈方拍得标的物的得益，最多能根据一般情况或以往经验作大致判断。 这意味着, 暗标拍卖博弈是不完全信息博恋, 且是不完全信息静态博弈。
1.2 古诺模型
假设：两寡头同时作产量 决策, 市场需求为$P(Q)=a-Q, Q=q_1+q_2 $为市场总产量, \(q_1、q_2\)分别是两个厂商产量。厂商 1 成本函数\(C_1=C_1(q_1)=c_1q_1\), 即无固定成本, 边际成本为\(c_1\), 这是两个厂商都知道的。厂商 2 的成本有两种可能情况, 一种\(C_2=C_2\left(q_2\right)=c_Hq_2\), 另一种\(C_2=C_2\left(q_2\right)=c_L q_2\), 而\(c_H>c_L\), 究竟是哪种成本厂商 2 自己知道，厂商 1 只知道前一种的概率\(\theta\)，后一种的概率\(1-\theta\)。
- 当高成本，\(q_{2}^{*}(c_{H})\) 满足：$$\max_{q_2}\left[\left(a-q_1-q_2\right)-c_{\mathrm{H}}\right] q_2$$
- 当低成本，\(q_{2}^{*}(c_{L})\) 满足：$$\max_{q_2} \left[\left(a-q_1-q_2\right)-c_L\right] q_2$$
- 厂商一的策略：$$\max _{q_1}\left\{\theta\left[a-q_1-q_2^{*}\left(c_H\right)-c_1\right] q_1+(1-\theta)\left[a-q_1-q_2^*({c_L})-c_1\right] q_1\right\} $$
- 求解：三个式子各自求极值，然后联立求解，得：
讨论：当 \(c_2=c_H\)时，\(q_2^*(c_H)>q_2^*\)；当\(c_2=c_L\)时，\(q_2^*(c_L)<q_2^*\)。当厂商2实际高成本时，他本应生产较少，但他考虑到对方不知道自己高成本, 所以对方选择的产量会小于知道自已高成本时的最佳产量, 因此自己可以适当多生产一些。
二、不完全信息静态博弈模型
在完全信息静态博弈时，我们将其表示为：$$G=\{ N,S_1, \cdots, S_n ; u_1, \cdots, u_n \} $$，其中\(S_i\)是博弈方\(i\)的策略空间, 即全部可选策略的集合，\(u_i\)是其得益函数\(u_i=u_i(s_1,\cdots,s_n)\)。
到了不完全信息静态博弈中，需要表示信息的不完全性，用\(T\)来表示：\(t_i\)表示博弈方\(i\)的类型，\(T\) 表示博弈方\(i\)的类型空间\(t_i \in T_i\)，\(u_i(a_1, \cdots, a_n, t_i)\)表示博弈方\(i\)在策略组合 \((a_1, \cdots, a_n)\)下的得益。信息不完全可以通过\(t_i\)的取值只有博弈方\(i\)知道而其他博弈方不清楚这一情况来反映。
另一个需要添加的是博弈方对不完全信息概率的判断：如果用博弈方\(i\)在自己类型为\(t_i\) 的前提下, 对其他博弈方类型的所有可能(或类型组合) $$(t_1,⋯ t_{i − 1} , t_{i+1}, ⋯, t_n )$$ 的条件概率$$p_i=p_i\left\{t_{-i} \mid t_i\right\} $$, 作为反映不完全信息的概率判断, 则可用$$G=\left\{N,A_1, \cdots, A_n ; T_1, \cdots, T_n ; p_1, \cdots, p_n ; u_1, \cdots ,u_n\right\}$$表示不完全信息静态博弈问题，常常参与人集\(N\)可以省略。
以不完全信息古诺博弈为例：
\begin{aligned} & \text { 厂商 } 1 \text { 的行动空间- } A_1=\left\{q_1\right\} \\ & \text { 厂商 } 2 \text { 的行动空间- } A_2=\left\{q_2\right\} \\ & \text { 厂商 } 1 \text { 的类型空间- } T_1=\left\{c_1\right\} \\ & \text { 厂商 } 2 \text { 的类型空间- } T_2=\left\{c_H, c_L\right\} \\ & \text { 厂商 } 1 \text { 的得益- - } u_1=\pi_1\left(q_1, q_2, t_1\right) \\ & \text { 厂商 } 2 \text { 的得益-- } u_2=\pi_2\left(q_1, q_2, t_2\right)\\ & \text { 厂商 } 1 \text { 条件概率- } p_1\{c_H|c_1\}=\theta;p_1\{c_L|c_1\}=1-\theta\\ &\text { 厂商 } 2 \text { 条件概率- } p_2\{c_1|c_H\}=1; p_2\{c_1|c_L\}=1 \end{aligned}
2.1海萨尼变换
海萨尼( Harsanyi )1967年提出将“不完全信息静态博弈” 转化为“完全但不完美信息动态博弈”:
- 第一步：引进虚拟博弈方 “自然”, “自然”进行动态博弈第一阶段的行动选择
“自然” 为每个博弈方随机选择类型\(t=\left(t_1, \ldots, t_n \right)\)，其中$t_i \in T_i, i=1, \cdots $ - 第二步：表示不完全信息
每个博弈方知道自己的类型，但不知道“自然”为其他博弈方选择的类型，只知道所选类型的概率分布。 - 第三步：博弈方在动态博弈第二阶段进行原来的静态博弈\(a_1, \ldots, a_n\)
- 第四步：表示得益
除 “自然” 博弈方外, 其余博弈方各自得益$u_i=u_i \left(a_1, \ldots, a_n \right) $
在作了海萨尼转换之后, 仍然有对 “类型” 的判断问题。但这时对类型的判断形式上变成了对博弈进程,即 “自然”对实际博弈方类型选择的判断, 其概率分布与类型的概率分布相同, 即 “自然”以概率分布\(p_1, \cdots p_n\)分别选择\(t_1, \cdots, t_n\)。
在“市场进入”博弈中，假设在位企业A知道进入企业B的成本函数类型，但进入企业对在位企业的成本信息是不完全的。从得益矩阵中可以看出,在在位企业A是高成本的情况下，如果企业B决定进入，此时在位企业A的选择是“默许”。当在位企业A是低成本的情况时，如果进入企业B决定“进入”，显然在位企业A的选择应该是“斗争”，因此在信息完全情况下，如果企业B决定“进入”，显然在位企业A的选择应该是“斗争”。因此在信息完全情况下，如果在位者是高成本，企业B的最佳策略选择是“进入”，如果在位企业A是低成本，进入者的最优选择是“不进入”。如果企业B并不知道在位企业A的成本类型，企业B此时的最优选择就依赖于它在多大程度上认为在位企业A是高成本或低成本的。现在假定企业B认为在位企业A是高成本的概率为\(p\)，低成本的概率为\(1-p\)，通过海萨尼转换，我们可以把上述不完全信息的“市场进入”静态博弈转换为完全但不完美的动态博弈，如下图所示:
此时，“自然”首先随机选择在位企业A成本的类型，然后我们就可以使用标准的动态分析中的“逆向归纳法”来分析该完全但不完美动态博弈。与完全信息博弈之间在策略和策略空间方面的相同。
2.2 贝叶斯纳什均衡
将纳什均衡推广到不完全信息静态博弈中，基本思想与完全信息静态博弈的纳什均衡是一样的, 各博弈方的策略必须是对其他博弈方策略(或策略组合)的最佳反应。不同的是, 这里的策略比完全信息静态博弈复杂一些,不是简单的行为选择,而是由类型决定行为选择的函数。这种策略有新含义的纳什均衡, 称为 “贝叶斯纳什均衡”。
在不完全信息静态博弈$$G=\{A_1,⋯,A_n;T_1,⋯,T_n; p_1 , ⋯, p_n ; u_ 1 , ⋯, u_n\} $$ 中, 如果对任意博弈方\(i\)和他的每一种可能的类型 \(t_i \in T_i\), 策略函数\(S_i^*\left(t_i\right)\)所对应的行动\(a_i\) 都能最大化其期望得益。
则称策略组合 \(S^*=\left(S_1^*, \cdots, S_n^*\right)\)为\(G\)的一个 (纯策略) 贝叶斯纳什均衡。
三、示例
3.1 暗标拍卖
假设：
(1) 两投标者：博弈方1、博弈方 2
(2) 两博弈方对拍品估价: \(v_1, v_2\)
(3) 若标价\(b_i\)中标, 其得益:\(v_i-b_i\)
(4) 各博弈方不知对方估价, 但知对方估价是 [0,1] 上的均匀分布，即取[0,1] 中任何数值的概率相等。
(5) 博弈方都风险中性：一单位期望得益和一单位确定性得益价值相同。
表示为不完全信息静态博弈
把上述问题表示为标准的不完全信息静态博弈, 需要找出两个博弈方的行为空间、类型空间、判断和得益函数。
*行为空间：博弈方\(i\)的行为就是自己的标价 \(b_i\),其中\(0\leq b_i\leq v_i\leq 1\)
*类型空间：博弈方\(i\)的类型即自己的估价\(v_i\), 类型空间\(T_i\)就是 估价可能取值区间 [0,1]
*判断：博弈方知道对方的类型是[0,1]上的标准分布, 这就是他们对对方类型的判断。
*得益函数：
式中\(i=1\)时 \(j = 2\)；\(i=2\) 时\(j=1\)。
寻找贝叶斯纳什均衡
先要构筑两博弈方的策略空间，即根据类型决定行为的函数关系：
本博弈中, 博弈方\(i\)的策略是符合要求的函数关系\(b_i(v_i)\), 所有这种函数关系\(b_i(v_i)\) 的集合构成博弈方\(i\)的策略空间。
分析贝叶斯均衡
策略组合\([b_1(v_1), b_2(v_2)]\)是一个贝叶斯纳什均衡, 意味着博弈方 1 的策略\(b_1(v_1)\)与博弈方 2 的策略\(b_2(v_2)\)相互是对对方的最优反应,对每个博弈方\(i\)的每个类型 \(v_i \in [0,1], b_i(v_i)\)都满足中标的期望得益最大化：
【例1】假设博弈方的报价：由基价和估价的一个固定比例组成，即：
$$b_1(v_1)=a_1+c_1 v_1, \quad b_2(v_2)=a_2+c_2 v_2$$
其中\(a_1<1、a_2<1\)；\(c_1 \geq 0、c_2\geq 0\)
简化：由于\(v_j\)服从均匀分布, $b_j=b_j(v_j)=a_j+c_jv_j $也服从均匀分布, 因此 $P\{b_i=b_j\}=0 $（概率趋近于0） 。这样上式变为:
求一阶导可得：$b_i=(a_j+v_i) / 2 $
分析：当 \(v_i<a_j\) （博弈方\(i\)估价小于博弈方\(j\)的基价）则博弈方\(i\)一定不会中标，所以\(v_i\)至少大于等于\(a_j\)才有希望，综合来看，\(v_i\)的最佳反应为：
若要求双方策略是严格的线性函数，可以要求\(a_j \leq 0\)，这样$ v_i$ 的最佳反应变为：
将此式与之前的策略空间 $$b_i(v_i)=a_i+c_i v_i$$相比较，最终可得$a_i=a_j / 2, c_i=1 / 2 $，另一个博弈方同理，联立得最终结果：
$$a_i=a_j=0, c_i=c_j=1 / 2$$
计算出$ b_i=v_i/2$，即博弈方最佳策略：把报价定为对拍品估价的一半。
上述贝叶斯纳什均衡是在上述暗标拍卖博弈中, 双方采用线性策略时唯一的贝叶斯纳什均衡。如果没有限定采用线性策略, 贝叶斯纳什均衡会发生改变。如果博弈方估价的概率分布不是上述标准分布, 暗标拍卖博弈的贝叶斯纳什均衡也会发生变化。此外,参与投标人数更多时情况也要更复杂一些,但分析思路是相同的。
3.2 “市场进入”博弈
对于进入企业B来说，虽然不知道在位企业A究竟选择低成本阻止还是高成本阻止，但它知道企业A只能有这两种策略选择以及相应策略选择的概率分布。若企业A属于高成本阻止的概率为\(p\)，则企A属于低成本阻止的概率就为\(1-p\)。如果企业A的阻止成本高，则A将默许企业B进入市场；如果企业A的阻止成本低，则企业A将阻止企业B的进入。在以上两种情况下，对照本节最上面的收益矩阵图，企业B的收益分别为30和-10。所以，B选择进人的期望收益为\(30p+(−10)(1−p)\)；选择不进人的期望收益为0。显然，只要企业B选择进入的期望收益大于不进入的期望收益，B就应该选择进入；否则，企业B选择不进入。也就是说，企业B的选择取决于\(30p+(-10)(1-p)\geq 0\)，即只要企业A高阻止成本的概率大于25%时，企业选择进入是其最优策略。这时的贝叶斯纳什均衡为：企业B选择进入，高成本在位企业A选择默许，而低成本在位企业A选择阻止。