一、光源模型概述

在成像系统中，光源作为成像过程中的重要环节，需要对其进行良好的模型建立，从而深入理解在渲染或实际成像过程中的需求，通过理解光源模型，从而设置合理的曝光时间、光圈大小等参数，对实际工程应用领域也有非常重要的指导作用。

二、光源基础模型

1. 定向光（Directional Light)

定向光是最简单的光源模型，也叫平行光，通常用于模拟太阳、月亮这类无限远的光。光照亮度 \(C_{light}\) 和光的方向 \(L\) 都是定值，除了光照亮度 \(C_{light}\) 可能会由于阴影而衰减。定向光没有位置，当然，真实的光源都是有位置的。定向光对于光源到场景的距离远大于场景大小的情况。例如：太阳，除了场景在太阳系星球的内部的情况。但有时为了性能或者为了一些特殊效果，也可以把定向光限制在一个“盒子”里面，其方向仍然唯一不变，但颜色有所差异，比如盒子外的颜色为纯黑，而内部的颜色可以是常量也可以是某种插值获得的结果。

2. 点光源(Punctual Light)

Punctual Light 不是按时赴约的光，而是有位置的光源。用 Punctual 是来自于拉丁语 puctues ，意思是点。点光源不仅有位置，而且均匀的射像空间中所有方向。点光源的方向 \(l\) 依赖于光的位置 \(p_{light}\) 和着色点的位置 \(p_0\) , \(l=\frac{p_{light} - p_0}{\vert p_{light} - p_0 \vert}\) .
也可以写成：
\(d=p_{light} - p_0, r=\sqrt {\vec d \cdot \vec d}, l=\frac{d}{r}\)，其中的 \(r\) 不仅可以用于方向向量的归一化，而且可以来计算光照亮度的衰减。
点光源的强度会随着距离增加而衰减，且与距离的平方成反比，即：

\[c_{light}(r)=c_{light0} \cdot (\frac{r_0}{r})^2 \]

\(c_{light0}\) 是距离为 \(r_0\) 处的光照亮度，由于点光源均匀的向四面大方发射光，将点光源抽象为一个球面波，所以辐照度为 \(E=\frac{\Phi}{4\pi R^2}\) 。
为了防止 \(r=0\) 时，分母为 0 导致出现无限大的光强，所以诸如 UE引擎里面会在分母上加一个小的参数：

\[c_{light}(r)=c_{light0} \cdot (\frac{r_0 ^2}{r^2+\delta}) \]

这里设置光源半径最小值可能更符合实际光源的情况(实际光源有尺寸大小)，这里使用 \(r_{min}\) 作为实际光源的尺寸：

\[c_{light}(r)=c_{light0} \cdot (\frac{r_0 ^2}{max(r,r_{min})^2}) \]

此外，在实际运用中，通常为了性能考虑，需要对随距离平方衰减的光强再乘以一个窗口函数 (windowing function )，毕竟远处的光很弱，我们可不想为了这些微弱的光徒增计算量，如下图展示了UE4里面点光源及其半径：

注意上图中，在光源最大半径范围以外的区域，是没有计算这个光源光照的，且交界处都有平滑过渡的感觉，所以需要合理设计窗口函数，使光强缓慢衰减且刚好在截止半径处衰减为0。
下图展示了一种窗口函数对于光衰减的影响：

WindowFunction:

\[f_{win(r)}=(1-(\frac{r}{r_{max}})^4)^+;f < 0,f_{win(r)}=0. \]

PythonCode:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
LightRidian = 1
R0 = 2
Sigma = 0.0001
Rmax = 6
r = np.linspace(R0,10,100)
E = LightRidian*R0*R0/(r**2+Sigma)
F_window = 1 - (r/Rmax)**4
F_window_Res = (F_window + abs(F_window)) / 2
Res = E * F_window_Res
plt.plot(r, F_window_Res, color='red', label='F_window: WindowFunc')
plt.plot(r, E, color='green',label='E: Ridian')
plt.plot(r, Res, color='blue', label='E*F_window: Result')
plt.legend()
plt.show()

3. 聚光灯(Spotlight)

前面所述的点光源，其光强虽然会随着距离而衰减，但是各个方向上是等同的，而此处的聚光灯，更进一步考虑了光强在不同方向上的函数分布。即：

\[c_{light}=c_{light0}f_{dist}(r)f_{dir}(l) \]

下面我们来确定 \(f_{dir}\) 函数，一个常见的聚光灯模型如图所示：

锥之间的范围称为半影(penumbra)。内外圆锥的内角分别为和。聚光灯可计算一个聚光灯系数，范围为[0,1]，代表某方向的放射比率。内圆锥中系数为1(最亮)，内圆锥和外圆锥之间系数由1逐渐变成0。另外，可用另一参数p代表衰减(falloff)，决定内圆锥和外圆锥之间系数变化。方程式如下:

\[spot(\alpha)=\left\{ \begin{aligned} 1 \quad if \; cos\alpha \ge cos\frac{\theta}{2} \\ \frac{cos\alpha - cos\frac{\phi}{2}}{cos\theta - cos\frac{\phi}{2}} \quad if \; cos\frac{\phi}{2} \lt cos\alpha \lt cos\frac{\theta}{2} \\ 0 \quad if \; cos\alpha \lt cos\frac{\theta}{2} \end{aligned} \right. \]

ue中的聚光灯如下图：