夹逼准则
对于\(x_n \leq y_n \leq z_n\),且
\[\lim_{n->\infty} x_n = \lim_{n->\infty} z_n =a
\]
则\(\lim_{n->\infty} y_n = a\)
通俗意义
大概就是我被夹杂在中间，那么我两边的都为a,那么我也必定为a
夹逼实例
对于多种分式相加，方法
- 1，夹逼
- 2，可爱因子
如\(\lim_{n->\infty}{\frac{n}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 3} +\frac{n}{n^2 + 2} + ...+\frac{n}{n^2 + n}}\),对于这种式子，首先想到的是夹逼，
- 找通项\(\frac{n}{n^2 +i}\)
- 令上面的式子为f(x)
- \(\frac{n^2}{n^2+n} \leq f(x) \leq \frac{n^2}{n^2+1}\)
- \(\lim_{n->\infty}\frac{n^2}{n^2 + n} = \lim_{n->\infty}\frac{n^2}{n^2+1} = 1\)
- 那么f(x) = 1
- 以后看到这种直接化分母，因为分子化相同了，后面就没办法相加减
可爱因子
\(\lim_{n->\infty}(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+\frac{1}{n+n}) =\)
\[\int_0^1f(x)dx = \lim_{\lambda->0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i = \lim_{n->\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})
\]
可爱因子大概意思就是，将[0,1]区间分成n分，求图形面积，每段的函数值就是高是变换的\(f(\frac{i}{n})\),那么走面积就是求和，也可以直接定积分\(\int_0^1f(x)dx\)
区分积分可爱因子和夹逼
- 式子都是很长的分式相加减
- 首先是同一夹逼做，不行就积分
- 当然其实可爱因子有和很显著的特征就是能提一个\(\frac{1}{n}\)，且很长的分式的变量范围是从[0,1]，