526互联

LFSR简述及常见CTF题型

发布时间 2023-07-05 03:45:39作者: Cryglz

LFSR简介

（插一嘴，youtube有位大神讲的还可以，b站有视频：lfsr视频讲解
线性反馈移位寄存器LFSR，是移位寄存器的一种，通常用于在数字电路中产生伪随机数。寄存器中的初始值叫做种子，种子应该是非零的。LFSR的下一时刻输入为是由整个移位寄存器值的某些位做异或运算的结果。选取哪些位置 用于移位，是需要进行预先设计好的，目的是要产生一个伪随机并且尽可能长周期的数字序列。

n位LFSR，最多产生2^(n-1)种序列（全零或全一被排除，因为全零异或nor结果为0，不会产生新序列，全1同或xnor也是）。

影响下一个状态的比特位叫做抽头。移位寄存器链的多个抽头用作XOR或XNOR门的输入。 然后，此门的输出用作对移位寄存器链开始的反馈，因此用作LFSR中的反馈。

**注意：当抽头使用XOR门时，全0的模式不会出现。 当抽头使用XNOR门时，全1的模式将不会出现。 此两种情况LFSR将停止运行。LFSR是伪随机的。输出模式是确定性，可以通过了解XOR门的位置以及当前模式来确定下一个状态。**

如图：

如果这里的反馈函数是线性的，我们则将其称为LFSR，此时该反馈函数可以表示为：

其中ci=0或1，⊕表示异或（模二加）。
我们接下来通过一个例子来更直观的明确LFSR的概念，假设给定一个5级的LFSR，其初始状态（即a1到a5这5个二元存储器的值）为：

其反馈函数为：

整个过程可以表示为下图所示的形式：

接下来我们来计算该LFSR的输出序列，输出序列的前5位即为我们的初始状态10011，第6位的计算过程如下:

第7位的计算过程如下:

由此类推，可以得到前31位的计算结果如下：

1001101001000010101110110001111

对于一个n级的LFSR来讲，其最大周期为2n-1，因此对于我们上面的5级LFSR来讲，其最大周期为25-1=31，再后面的输出序列即为前31位的循环。

通过上面的例子我们可以看到，对于一个LFSR来讲，我们目前主要关心三个部分：初始状态、反馈函数和输出序列，那么对于CTF中考察LFSR的题目来讲也是如此，大多数情况下，我们在CTF中的考察方式都可以概括为：给出反馈函数和输出序列，要求我们反推出初始状态，初始状态即为我们需要提交的flag，另外大多数情况下，初始状态的长度我们也是已知的。

显然，这个反推并不是一个容易的过程，尤其当反馈函数十分复杂的时候，接下来我们就通过一些比赛当中出现过的具体的CTF题目，来看一下在比赛当中我们应该如何解决这类问题，由于不同题目之间难度差异会很大，所以我们先从最简单的题目开始，我将尽可能的用最通俗的语言和脚本来进行演示，在后面会逐渐提升题目的难度，同时补充相应的代数知识。

常见CTF例题演示

攻防世界:简单的LFSR

from secret import secret
for b in secret: assert(b == '0' or b == '1')
assert(len(secret) == 128)
# a 01 string with length 128
# your flag is flag{md5(secret).hexdigest()}

def string2bits(s):
    return [int(b) for b in s]

def lfsr(state, mask):
    assert(len(state) == 128)
    assert(len(mask)  == 128)

    output = 0
    for i in range(128):
        output = output + (state[i] * mask[i])

    return output

if __name__ == '__main__':
    initState = [0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0]
    mask = string2bits(secret)

    for i in range(256):
        state = initState[i:]
        output = lfsr(state, mask)
        initState += [output]

    outputState = initState[128:]
    print('outputState =', outputState)
    #
    # outputState = [31, 66, 128, 222, 385, 664, 1143, 2000, 3458, 6003, 10379, 17942, 31047, 53687, 92924, 160797, 278304, 481638, 833479, 1442422, 2496163, 4319845, 7475835, 12937561, 22389578, 38746915, 67054735, 116043520, 200822710, 347539886, 601445745, 1040850538, 1801275628, 3117252874, 5394657302, 9335889442, 16156509611, 27960142496, 48387281659, 83738092531, 144915522009, 250787996657, 434008851435, 751087316130, 1299817167363, 2249438425629, 3892834588915, 6736864173067, 11658686709797, 20176297502410, 34916709837729, 60426182042628, 104572380769600, 180970937597032, 313184800936842, 541991553121913, 937960088661442, 1623215570164618, 2809105439634215, 4861383488449105, 8413016146818879, 14559402864389777, 25196220721365800, 43604091771673155, 75460397027739861, 130590302153314191, 225997048627046433, 391106116962451401, 676840674047358730, 1171327366605398299, 2027076463289970382, 3508019282374090135, 6070910253447116278, 10506199749411485204, 18181825882182859769, 31465115864423937634, 54452920337985370536, 94235169707018163674, 163081560265112209496, 282225790871820528073, 488414489680745790033, 845240659945376349091, 1462757121910708796880, 2531419155626961478438, 4380824981460105751921, 7581370898424646092677, 13120173698498971899800, 22705518590912550882405, 39293730885686099313323, 68000969928723717268434, 117681162033195064953557, 203656740661184789826464, 352444412513853856490154, 609933476834387348179796, 1055539066458205919344242, 1826695472762162772755920, 3161243819621244340994611, 5470787351316040252901913, 9467638673598260118507327, 16384512191330329194463349, 28354719587732695891973236, 49070128760035595469947547, 84919814815174884654495265, 146960587438213290271803310, 254327147405947343219170013, 440133637427387650641676733, 761686751771954639615932308, 1318160346062225166536927204, 2281182774793880566386854202, 3947770745464875128215489476, 6831935621711193478803584270, 11823215517979626989252654459, 20461027873324936552011726278, 35409458704049766870463574070, 61278923692217093991616774374, 106048118957748860598268928024, 183524821535095103500935105397, 317604503036094959823791626415, 549640204006492782256703506357, 951196695803666227643791343005, 1646122586216645151673646795131, 2848747878127492747395146497119, 4929987925010971381846789176787, 8531741656523753626888968333475, 14764866932914585711739993009471, 25551792860485990447357753377411, 44219438031623458174827090101591, 76525303351860239321171606062486, 132433208420836012247860425341878, 229186346534231007543300455047052, 396625454174562824696341867974807, 686392332170111774628387415187708, 1187857281228776953526538661167132, 2055682813511567389589959681437591, 3557524878237416677051445431119245, 6156583679200434562674367324375645, 10654464521349051207718915685250792, 18438410026033851006551039004948926, 31909155416202798852780253976608864, 55221366589513932226781115179478434, 95565027912492621164419094117570641, 165382987128929746587819720020389833, 286208595645816231325692474821432127, 495307054513959920117280296979778603, 857168799202977606481906830566592959, 1483399728776458203402121501599814357, 2567142851419860475561591348189292465, 4442647717774532025797522076302827645, 7688360128977964468508623330874749520, 13305327189541069887965447505836108943, 23025941637865784521234444191415083701, 39848248807227476288131461546822173104, 68960607908058729168472941626927516912, 119341892941264496254850267375680858596, 206530769418287872448439164819365157712, 357418151038572249261836365381689027787, 618540932431735991718001801386896334770, 1070434962471260463170389697079661487176, 1852474022011964581139009223827365513544, 3205855677870125101423860144920010424249, 5547991769498476629256700835469967207037, 9601247144996961660705018593534913225922, 16615732425220501988109900409620796156745, 28754864847988594478375696246052761203187, 49762612400465240380187427652132912229336, 86118213596547492163397334421181607606370, 149034513167786192667574788821667110253623, 257916243121530494722068502259305736264048, 446344856986474817826595353109273441918350, 772435768089263602359077702861161388353409, 1336762385595787378549468975393213339116484, 2313375104267880490155624917599100889633507, 4003482167596451918353914186255524345816532, 6928348730257112541629154203810355027525535, 11990066177033590775605142065871666200189459, 20749776393589512464840020374644649655647874, 35909161302935015278730531942138798319507636, 62143699335409560081369603141161471393159562, 107544682943462043814216772302622710407400704, 186114746194704481727730115452186541297539854, 322086576510057527551600558671512063007190557, 557396793585831655018738502556644467159583633, 964620099559052960425720416252526682882655111, 1669352868873354804885622348664567494237803783, 2888949755545809136243688064556192446919868175, 4999560515746991945989073252770067125902428535, 8652142635098861248148452777057412533362877977, 14973230535426489152060521332311783517581989420, 25912382876992006096351135796067625851883928825, 44843468133024591960270046213401958144446811548, 77605237763877474989955856305494246316739147127, 134302122006319171731632762048131880552676359659, 232420652202367984596938247872208285088912788686, 402222680946414142984184322215356821073359953948, 696078784456971603910909918744734815016448573082, 1204620468022900362280402553035290601874308600586, 2084692860035604927076197374205039877760447754956, 3607729103106034863624554004184342562208475089341, 6243466138784576918107250594832177417637788944304, 10804821623826866941723224844111388709787418308073, 18698615116609470739339911758664365362637188157227, 32359461308280335893458609544003265039362932173740, 56000657248244594858300036379967633467510318826268, 96913653239119041752111865895809664169241405330164, 167716892009274048794745102986623447430717183044189, 290247606246426020117292750048691625438809474898504, 502296888062545512718475829352732508523042936581530, 869265269816240261877029457458234318249621243667628, 1504333646627354107869007496936781479204707239575364, 2603370684363759081777877568090078592049534352669947, 4505342904082185194291963661562434728467247085801567, 7796859204598587173314308958000104480418858953375158, 13493093589225451977147040588861591346827624626553088, 23350886533928418622148518003626067086836308029229306, 40410592153292809121198774051487713973447271440824879, 69933788415571610361075397290260005189363125951186151, 121026060286409890014591649872661507384922097295622585, 209445356819655999941471437498154462693217873859873519, 362462079567824464738504374835340908769751488853277318, 627269857492024846036766185061792395514128412691597750, 1085541071185182881358902065797900004206275433304525877, 1878616361292087979017649753948129817575491489985996469, 3251097104102362704835900720328806405351210311448488910, 5626285705844227224482132571164442587287950705132698177, 9736741115435595736854097976874400909429981720207988487, 16850215667245180941552990697851306753178430167486844006, 29160657006948951882262364132481449161390275730087294685, 50464868454466647556267645846637274956572498586114427735, 87333524327649631040132103644841977096784627243509857937, 151137706390139040826448707126591974417399010694640174718, 261555988593488478677610370284679511774525269175612894617, 452643730033345117036459086235348615186246366652477694168, 783336475835524143955537154153262203019092265959952337070, 1355626939379487620769121922144227585175531097052439217983, 2346021735820790423533561047507688175516954900918138334291, 4059979796110323903393797058491537625611005518946149411026, 7026122432346967683382009847205881024752630926437218981740, 12159271452933065576710291263470354882115951853620136774055, 21042599768180623908382939506716338579508214228553692875423, 36415915765826987773364669427220163018133640081486671468436, 63020678797925209300085103082659626905494796721119527734083, 109062366622625198169859916735972641477602693706580750774247, 188741220186912829686057249397861922209555075583934877024777, 326631901551406455092777938653826814900794821912935940782874, 565262845103114204256414747869081614169923740442179762058936, 978232936025018959853100287323851115023773163216042197843195, 1692910980111501346802672231436092377546116455476214539222026, 2929718966760270262844895994547637314231078419236801672684198, 5070114923366815738216357619638190602226980891746062079428250, 8774242726964718704518978915749604855301897112378619823447909, 15184534590503864395968205111669668293209355696392197598100449, 26278061583779512058870924747917968681797893736357134971437061, 45476304623307832769415233578427592641287934525440233150419102, 78700412341998941621862709864667467345902574612843786168968091, 136197409928206718914848388530217366761295027423898231594892758, 235700600786468895717413188934153824796333855958950958366797470]
    #

分析一下题目逻辑。初识化数组 initState ，即为LFSR(线性反馈移位寄存器)的初始状态，mask 是flag转二进制之后的数组。

最主要的操作就是进行256轮LFSR计算

lfsr函数逻辑不算复杂，输入两个长度为128数组 state, mask ，输出 output 值为$out=\sum{state_i \times mask_i}$
注意到每轮 state 数组取值会向右移动一个位置，同时 initState 长度会增长1，即数组尾部追加了 output 值
关键的关系式$out=\sum{state_i \times mask_i}$
可改写为矩阵乘法形式$out=State \times Mask$
State是 $1\times128$ 向量，Mask是 $128 \times 1$ 向量

256轮循环最终输出 initState 数组后256个元素，命名为 outputState，其中$outputState_{0…127} \times Mask = outputState_{128}
outputState_{1…128} \times Mask = outputState_{129}
\cdots
outputState_{127…254} \times Mask = outputState_{255}$

接下来就是简单的线性方程组求解了。
EXP:

#sage
outputState = [31, 66, 128, 222, 385, 664, 1143, 2000, 3458, 6003, 10379, 17942, 31047, 53687, 92924, 160797, 278304, 481638, 833479, 1442422, 2496163, 4319845, 7475835, 12937561, 22389578, 38746915, 67054735, 116043520, 200822710, 347539886, 601445745, 1040850538, 1801275628, 3117252874, 5394657302, 9335889442, 16156509611, 27960142496, 48387281659, 83738092531, 144915522009, 250787996657, 434008851435, 751087316130, 1299817167363, 2249438425629, 3892834588915, 6736864173067, 11658686709797, 20176297502410, 34916709837729, 60426182042628, 104572380769600, 180970937597032, 313184800936842, 541991553121913, 937960088661442, 1623215570164618, 2809105439634215, 4861383488449105, 8413016146818879, 14559402864389777, 25196220721365800, 43604091771673155, 75460397027739861, 130590302153314191, 225997048627046433, 391106116962451401, 676840674047358730, 1171327366605398299, 2027076463289970382, 3508019282374090135, 6070910253447116278, 10506199749411485204, 18181825882182859769, 31465115864423937634, 54452920337985370536, 94235169707018163674, 163081560265112209496, 282225790871820528073, 488414489680745790033, 845240659945376349091, 1462757121910708796880, 2531419155626961478438, 4380824981460105751921, 7581370898424646092677, 13120173698498971899800, 22705518590912550882405, 39293730885686099313323, 68000969928723717268434, 117681162033195064953557, 203656740661184789826464, 352444412513853856490154, 609933476834387348179796, 1055539066458205919344242, 1826695472762162772755920, 3161243819621244340994611, 5470787351316040252901913, 9467638673598260118507327, 16384512191330329194463349, 28354719587732695891973236, 49070128760035595469947547, 84919814815174884654495265, 146960587438213290271803310, 254327147405947343219170013, 440133637427387650641676733, 761686751771954639615932308, 1318160346062225166536927204, 2281182774793880566386854202, 3947770745464875128215489476, 6831935621711193478803584270, 11823215517979626989252654459, 20461027873324936552011726278, 35409458704049766870463574070, 61278923692217093991616774374, 106048118957748860598268928024, 183524821535095103500935105397, 317604503036094959823791626415, 549640204006492782256703506357, 951196695803666227643791343005, 1646122586216645151673646795131, 2848747878127492747395146497119, 4929987925010971381846789176787, 8531741656523753626888968333475, 14764866932914585711739993009471, 25551792860485990447357753377411, 44219438031623458174827090101591, 76525303351860239321171606062486, 132433208420836012247860425341878, 229186346534231007543300455047052, 396625454174562824696341867974807, 686392332170111774628387415187708, 1187857281228776953526538661167132, 2055682813511567389589959681437591, 3557524878237416677051445431119245, 6156583679200434562674367324375645, 10654464521349051207718915685250792, 18438410026033851006551039004948926, 31909155416202798852780253976608864, 55221366589513932226781115179478434, 95565027912492621164419094117570641, 165382987128929746587819720020389833, 286208595645816231325692474821432127, 495307054513959920117280296979778603, 857168799202977606481906830566592959, 1483399728776458203402121501599814357, 2567142851419860475561591348189292465, 4442647717774532025797522076302827645, 7688360128977964468508623330874749520, 13305327189541069887965447505836108943, 23025941637865784521234444191415083701, 39848248807227476288131461546822173104, 68960607908058729168472941626927516912, 119341892941264496254850267375680858596, 206530769418287872448439164819365157712, 357418151038572249261836365381689027787, 618540932431735991718001801386896334770, 1070434962471260463170389697079661487176, 1852474022011964581139009223827365513544, 3205855677870125101423860144920010424249, 5547991769498476629256700835469967207037, 9601247144996961660705018593534913225922, 16615732425220501988109900409620796156745, 28754864847988594478375696246052761203187, 49762612400465240380187427652132912229336, 86118213596547492163397334421181607606370, 149034513167786192667574788821667110253623, 257916243121530494722068502259305736264048, 446344856986474817826595353109273441918350, 772435768089263602359077702861161388353409, 1336762385595787378549468975393213339116484, 2313375104267880490155624917599100889633507, 4003482167596451918353914186255524345816532, 6928348730257112541629154203810355027525535, 11990066177033590775605142065871666200189459, 20749776393589512464840020374644649655647874, 35909161302935015278730531942138798319507636, 62143699335409560081369603141161471393159562, 107544682943462043814216772302622710407400704, 186114746194704481727730115452186541297539854, 322086576510057527551600558671512063007190557, 557396793585831655018738502556644467159583633, 964620099559052960425720416252526682882655111, 1669352868873354804885622348664567494237803783, 2888949755545809136243688064556192446919868175, 4999560515746991945989073252770067125902428535, 8652142635098861248148452777057412533362877977, 14973230535426489152060521332311783517581989420, 25912382876992006096351135796067625851883928825, 44843468133024591960270046213401958144446811548, 77605237763877474989955856305494246316739147127, 134302122006319171731632762048131880552676359659, 232420652202367984596938247872208285088912788686, 402222680946414142984184322215356821073359953948, 696078784456971603910909918744734815016448573082, 1204620468022900362280402553035290601874308600586, 2084692860035604927076197374205039877760447754956, 3607729103106034863624554004184342562208475089341, 6243466138784576918107250594832177417637788944304, 10804821623826866941723224844111388709787418308073, 18698615116609470739339911758664365362637188157227, 32359461308280335893458609544003265039362932173740, 56000657248244594858300036379967633467510318826268, 96913653239119041752111865895809664169241405330164, 167716892009274048794745102986623447430717183044189, 290247606246426020117292750048691625438809474898504, 502296888062545512718475829352732508523042936581530, 869265269816240261877029457458234318249621243667628, 1504333646627354107869007496936781479204707239575364, 2603370684363759081777877568090078592049534352669947, 4505342904082185194291963661562434728467247085801567, 7796859204598587173314308958000104480418858953375158, 13493093589225451977147040588861591346827624626553088, 23350886533928418622148518003626067086836308029229306, 40410592153292809121198774051487713973447271440824879, 69933788415571610361075397290260005189363125951186151, 121026060286409890014591649872661507384922097295622585, 209445356819655999941471437498154462693217873859873519, 362462079567824464738504374835340908769751488853277318, 627269857492024846036766185061792395514128412691597750, 1085541071185182881358902065797900004206275433304525877, 1878616361292087979017649753948129817575491489985996469, 3251097104102362704835900720328806405351210311448488910, 5626285705844227224482132571164442587287950705132698177, 9736741115435595736854097976874400909429981720207988487, 16850215667245180941552990697851306753178430167486844006, 29160657006948951882262364132481449161390275730087294685, 50464868454466647556267645846637274956572498586114427735, 87333524327649631040132103644841977096784627243509857937, 151137706390139040826448707126591974417399010694640174718, 261555988593488478677610370284679511774525269175612894617, 452643730033345117036459086235348615186246366652477694168, 783336475835524143955537154153262203019092265959952337070, 1355626939379487620769121922144227585175531097052439217983, 2346021735820790423533561047507688175516954900918138334291, 4059979796110323903393797058491537625611005518946149411026, 7026122432346967683382009847205881024752630926437218981740, 12159271452933065576710291263470354882115951853620136774055, 21042599768180623908382939506716338579508214228553692875423, 36415915765826987773364669427220163018133640081486671468436, 63020678797925209300085103082659626905494796721119527734083, 109062366622625198169859916735972641477602693706580750774247, 188741220186912829686057249397861922209555075583934877024777, 326631901551406455092777938653826814900794821912935940782874, 565262845103114204256414747869081614169923740442179762058936, 978232936025018959853100287323851115023773163216042197843195, 1692910980111501346802672231436092377546116455476214539222026, 2929718966760270262844895994547637314231078419236801672684198, 5070114923366815738216357619638190602226980891746062079428250, 8774242726964718704518978915749604855301897112378619823447909, 15184534590503864395968205111669668293209355696392197598100449, 26278061583779512058870924747917968681797893736357134971437061, 45476304623307832769415233578427592641287934525440233150419102, 78700412341998941621862709864667467345902574612843786168968091, 136197409928206718914848388530217366761295027423898231594892758, 235700600786468895717413188934153824796333855958950958366797470]

OOi = []
Oi = []
for i in range(128):
    OOi += outputState[i:i+128]
    Oi += [outputState[i+128]]

OO = matrix(ZZ, 128, 128, OOi) 
O = matrix(ZZ, 128, 1, Oi) 

Mask = OO.solve_right(O)
M=Mask.str().replace('\n','').replace('[','').replace(']','')