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【少图预警！】【需要结合其他文章食用！】
？声明？
这里不对线性代数相关概念和异或线性基做最基本的概述。
上网搜大概可以搜到三篇高质的讲解线性基的博客：
线性基小记 - command_block 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)
线性基学习笔记 - 拜傅里叶教总部 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)
下面两篇适合入门。上面那个没点线性代数基础感觉看不太懂。
最下面这一篇介绍的线性基构建方法比较麻烦。
它保证了每一个存在于线性基的位置 \(i\)，仅有 \(a_i\) 的第 \(i\) 位为 1。
但这个性质完全可以在构建完线性基后，扫一遍来完成。将在模板习题给出。
线性基的性质，除了常说的，基最小、基线性无关、基的张成等于原集合的张成、原集合元素的唯一表示以外，还有很多，我们将在例题逐一分析。
读者注意留意题目中各种映射关系，有助于理解。
为防不知道有没有的读者和我用的循环压缩不一致，下面的代码默认有这两行 #define：
#define rp(i,r,l) for(int i=(r);i>=(l);--i)
#define fo(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);++i)
全文 w 定义为 \(\log V\)。
模板线性基：P3812 【模板】线性基
这里补充一个构造线性基时需要用到的结论，或有助理解：
- 将基中的任意一个元素异或上基中的另外一个元素，基仍是基。
证明考虑，设是 \(x\) 异或上了 \(y\) 变成 \(x'=x\oplus y\)，把原张成的每个含 \(x\) 的元素，替换成 \(x'\oplus y\) 即可。
根据「基的张成等于原集合的张成」，我们可以对输入的全部数求基。
那么问题变成了，我们在基里面选若干元素使异或和最大。
到这里，可以使用前两篇博客中的构造方法，写出这样的代码：
void insert(ll x) {
rp(i,w,0) {
if(x&(1ll<<i)) {
if(!a[i]) { a[i]=x;return; }
x^=a[i];
}
}
}
ll query() {
ll ret=0;
rp(i,w,0) if((ret^a[i])>ret) ret^=a[i];
return ret;
}
但是这样丝毫不能体现我们对线性基的高超技艺。
我们可以使用第三篇博客的构造方法，这样构造出的基，如果第 \(i\) 位存在，那么第 \(i\) 列仅这一个为 \(1\)。（可以去 Menci 博客里好好看看，这里不详细讲）
也就意味着一个非零的行，我们选他，一定更优。
那么全部异或起来就对了。
事实上，Menci 博客里面的构造方式有些繁琐。我们可以按照前两篇博客的构造方式先构造一组线性基。
因为线性基里的数随便异或不会改变任何事情。我们可以不断异或，使得这组线性基具有 Menci 博客中提到的性质。如下：
void insert(ll x) {
rp(i,w,0) {
if(x&(1ll<<i)) {
if(!a[i]) {
a[i]=x;
return;
}
x^=a[i];
}
}
}
void prepare() {
fo(i,0,w) {
rp(j,i-1,0) {
if(a[i]&(1ll<<j)) a[i]^=a[j];
}
}
}
ll query() {
prepare();
ll ret=0;
rp(i,w,0) ret^=a[i];
return ret;
}
第二种方法，我们的 prepare() 操作就是 command_block 博客里提到的：“将三角基进一步消成对角基”。（虽然我也不知道这俩是啥。）
在执行完 prepare() 以后，我们的基就有 Menci 博客里介绍的全部性质了。
模板题到这里就结束了。时间复杂度，三角基是 \(O(n\log V)\)。消成对角基要多一个 \(\log V\)。
P3857 [TJOI2008] 彩灯
即，计算给定集合的张成与 \(\{0\}\) 的并的大小。
直接对原集合求张成大小是不会的。所以我们先求基。
根据「原集合元素的唯一表示」以及「基线性无关」，我们知道基的每个元素选，或不选，组合成的数于原数组都是不重不漏的。
那么一共能组合出 \(2^k\) 次方个数。\(k\) 是基的大小。
至于零，输出时加一就好了。
时间 \(O(mn)\)。
P4301 [CQOI2013] 新Nim游戏
首先我们要熟知经典 Nim 游戏的结论：当一个局面全部石子个数的异或和为零，必败。否则必胜。
在这道题中，第一回合我们需要拿走若干堆石子，使得无论对手取哪几堆石子，都会送我们一个必胜局面。
也就是说，使得对手不能将局面变为，全部石子个数异或为零。
也就是说，我们拿完第一次，剩下的石子不存在一个非空的子集（因为对手可以不拿，所以不是真子集），使得异或和为零。
也就是说，剩下的石子线性无关。
注意基的定义，基没有异或和为零的子集。
且，「基，是原集合全部线性无关子集中，集合大小最大的」。
因为我们要最小化第一回合我们取的石子数量，所以剩下的石子要大。那么我们留一个基就好了。
为了最大化基，我们降序排序，顺序枚举，能选就选。
如果向 \(a_{1\to i-1}\) 形成的基中加入 \(a_i\)，变得线性相关，说明 \(a_i\) 可以被 \(a_{1\to i-1}\) 一些表示出来。
此时我们要么保留原本的基，要么从原本的基删掉一个元素，加入 \(a_i\)。
注意到，这两种基都是由 \(a_{1\to i-1}\) 形成的基，张成一样。即完全等价。
那么，对于两种等价的基，我们保留原本的基，答案不会更劣。
所以这是对的。
这种，「选取线性无关子集，最大化求和」或是「留下线性无关子集，最小化选取求和」的问题，以后还会遇到很多次，都可以用这种方式解决。
时间 \(O(k\log V)\)。
P4570 [BJWC2011] 元素
做过【P4301】这道题就算裸了。请读者自行完成。
P3292 [SCOI2016] 幸运数字
若我们得到两点间的线性基，事情就很典了。
注意线性基大小是 \(\log V\) 级别的。那么我们可以通过把一个线性基里的数加入另一个完成时间为 \(O(\log^2V)\) 的合并。
那我们有两种方法：
- 获得 \((x,lca)\) 和 \((y,lca)\) 的线性基，合并。
- 树剖+线段树或者倍增维护线性基。
询问是不确定的，所以第一种方法不行。（可以使用前缀线性基 \(O(q\log^2V)\)，但这里先不提前介绍）
从线段树询问区间线性基，会拆成 \(\log n\) 个区间，合并这些要 \(\log^2V\times\log n\)。
树剖需要 \(\log n\) 次线段树询问。所以时间是 \(O(q\log^2V\log^2n)\) 的。
注意线性基是可重复贡献的。可以用 ST 表维护某个点向上 \(2^i\) 的线性基。\(O(n\log^2V\log n+q\log ^2V)\)。
\(n\) 比 \(q\) 小一些，第二个做法较优。
Code for this.（这里是树剖+线段树，ST 表的代码可以去题解区找）
P4151 [WC2011] 最大XOR和路径
这次变成图了。没环的话跟上一题一样。
如果从一个点开始，走到一个环，绕一圈，原路回来，此时获得的贡献仅是环的。意思是每个环都可以随便选。
记由「若干返祖边和返祖边跨过的边形成的环」为特殊环。
建出 dfs 树。那么每个环都可以由若干特殊环通过异或组成。如下图，再归纳即可。
那么我们此时要选一条从 \(1\) 到 \(n\) 的最优的路径，最优是指它选一些环异或起来最大。
当我们知道哪一条最优以后，问题就变成了已知的路径异或和（第一步），要任选一些 \(a_i\) 异或异或起来最大（第二步）。\(a_i\) 就是各个环的异或和。
既然每个环都在特殊环的张成里，我们对特殊环建线性基。那问题就是第一步。
总不能枚举全部路径。观察两条从 \(1\) 到 \(n\) 的路径。它们构成了一个环。
那么，如果我选了一条 \(1\to n\) 的路径 \(A\)，然而 \(1\to n\) 的最优路径是一条不等于 \(A\) 的路径 \(B\)。
那么在我选一些环使得异或和最大的时候，我会选出 \(1\to n\to 1\) 这一个环，且这个环由 \(A,B\) 构成。
此时我的第一部分异或就变成了 \(B\)。
所以第二步会令第一步最优。第一步随便找就好了。
时间 \(O(n+(m-n)\log V)\)。
前缀线性基：CF1100F Ivan and Burgers
提醒：a[i] 指基元素，\(a_i\) 指序列。
这，就是上上题提到的，前缀线性基！
我们对于每个 \(i\) 维护一个 \(a_{1\to i}\) 形成的线性基。
这个基，由尽可能靠后的数组成。
什么意思？
我们要理解两件事：
- 基不唯一，且可以是原集合的子集。
（如果你是线代大师会觉得这很显然）
举个例子，\(a=\{1,2,3\}\)，一个合法的基是 \(\{2,3\}\)。
\[\begin{aligned} 10\\ 11\\ \end{aligned} \]但是这种基并不会被我们构造出来，因为他们的最高位都是 \(2^1\) 位。
我们构造的应是：
\[\begin{aligned} 01\\ 10\\ \end{aligned} \]这两种基本质是相同的。我们可以对第一个基进行内部异或运算。它一定可以变成第二个。（全部基都可以这样，证明考虑【模板】的证明）
- 常见的线性基，由尽可能靠前的元素组成。
因为我们是贪心构造：如果能加就加了。
- 综上，「构造线性基」得到的结果（后面两句不是流程！只是结果一样！），是选最靠前的基，再进行基内部异或使得不存在两个最高位相同的元素。
内部异或不会异或出零，因为我们选了基。
这两条性质很重要。影响到后面题目的完成。
那么，选尽可能靠后的数构成线性基，即从后往前做 insert()。
那对于每个位置 \(i\) 处理出 \(a_{1\to i}\) 尽可能靠后的元素形成的线性基，下意识记录基元素 a[i] 在原数组下标，记 p[i]。
询问时不要算 p[i]<l 的 a[i] 就好了。
我们发现它 TLE 了（而非 WA ）。所以分析是对的。
考虑利用好 \(i-1\) 的信息，令 \(i\) 的线性基从 \(i-1\) 复制过来。接着想办法把 \(a_i\) 正确加入。
使 \(a_i\) 必须加入。
- 若加入 \(a_i\) 基仍线性无关，则代码会自己顺序执行并插入 \(a_i\)。
- 否则会冲突。
有一种很自然的解决方式，如代码：
void insert(int x,int id) {
rp(i,w,0) {
if(!x) return;
if(x&(1<<i)) {
if(!a[i]) { a[i]=x;p[i]=id;return; }
if(id>p[i]) swap(p[i],id),swap(a[i],x);
x^=a[i];
}
}
}
我们遍历过的 a[i] 已经是尽可能靠后，并且当前 a[i] 尽可能靠后，并且最终基的张成不变，归纳可证新基由尽可能靠后的元素形成。（信息量很大）
请你联系引用框段，好好思考。
你会明白此时的基，
a[i]，是原序列第p[i]位经基内异或得到的结果。虽然对这题无意义。
那么我们成功得到了第 \(i\) 位的基。
时间 \(O(n\log V+q\log V)\)。
CF845G Shortest Path Problem?
与 WC2011 一样。请读者自己思考。
实数线性基：P3265 [JLOI2015] 装备购买
事情变得稍稍有点意思了。
这次，线性组合不再是常见的 Xor 运算，而是线代中的「线性组合」，也即，向量的缩放和加法。
将 \(n\) 件武器视作 \(n\) 个 \(m\) 维向量。
如果我们能维护这样子的「线性组合」意义下的「线性基」，这道题就变得很经典了——排序。
照葫芦画瓢，我们重新思考异或线性基中各个部分的意义。
- 基、张成，很显然。
- 内部异或，张成不变。
内部异或→内部线性组合→矩阵的行初等变换。
即，矩阵做行初等变换，张成不变。证明与先前类似。
insert()时，\(i\) 从w向0枚举，空就赋值，非空就异或。空，指没有最高位为 \(2^i\) 的基元素。
异或，指消掉待加入数的 \(2^i\) 位。
变为：从最高维开始，向最低维枚举，若基中没有最高维是第 \(i\) 维的变量，赋值；否则将待加入的向量第 \(i\) 维消为零。
P.S. 为了和异或线性基一致，定义属性从 \(1\) 到 \(m\) 为从高到低。
那就会做了。
可以联系这篇博客的图。
为了实现常数，我们不真的像原本那样建立新数组存基，转而记录最高维是第 \(i\) 维的变量在原数组的下标。并在原数组进行消元。
时间 \(O(nm^2)\)。
同时我们发现，这才是线性基真正的复杂度。
平时的异或线性基为什么少了个 \(m\) 呢？因为消元运算被异或运算优化成 \(O(1)\) 的了。
Tangninghaha 做过一道可删线性基《八纵八横》。这里维度很高，可以用 bitset 优化。\(\frac{m^2}{\omega}\)。
你也可以理解为平时 \(V\) 在 long long 以内的是除了个 \(\omega\)。
这道题精度开 1e-5 即可。不然会 WA。
P5556 圣剑护符
询问两点间点权是否线性相关。
基元素最高位不得相同。因此，基的元素不超过 \(\log V\) （ w ）个。
当原集合大小大于 w 时，必有元素无法插入，即线性相关。
所以选择性暴力回答询问或输出 YES。
修改我选择了利用 dfn 序差分。或许还有别的做法。
这是 \(O(n\log V+q\log^2 V)\)。
CF724G Xor-matic Number of the Graph
像 WC2011 那题一样构造特殊环的线性基 \(circle\)。先表示出来答案。
就是对于全部的 \(u,v\)，对 \(\sum_{x\in\text{span}(circle)} dis(u,v)\oplus x\) 求和。
任意建生成树，设 \(d_x\) 为 \(x\) 到根的异或和。\(dis(u,v)\) 就变成了 \(d_u\oplus d_v\)。
枚举 \(u\)，此时我们有三组数，第一组是 \(d_u\) 一个，第二组是 \(v\) 大于 \(u\) 的 \(d_v\)（为了不算重），第三组是特殊环的基。
我们要做的就是每组任选一个，Xor 起来，求和。
这里我们可以按位贡献。统计下面两组每个位置 0/1 数量。
用简单的组合数学做。就不细讲了。
注意图不一定联通。
时间 \(O(n\log V)\)。
Code for this.（我当时写的时候每个 \((u,v)\) 算了两次，最后除以 \(2\)，懒得改了。）
CF895C Square Subsets
注意 \(70\) 以内质数共有 \(19\) 个。
某个数是完全平方数，当且仅当，它每个素因子的次数为偶数。
我们可以把每个 \(a_i\) 变成一个长 \(19\) 的二进制串，代表 \(a_i\) 中每个素因子次数的奇偶性。
非空子集乘积为完全平方数，当且仅当，这些二进制串 Xor 为零。
解法一
那么我们状压。\(f_{i,j}\) 前 \(i\) 个二进制串，Xor 等于 \(j\) 的非空子集数量。转移很显然。
怎么优化？注意 \(1\leq a_i\leq 70\)，所以本质不同的二进制串至多 \(70\) 个。
可以把若干个相同的压起来，dp 时乘一乘即可。
时间 \(O(2^{19}V)\)。（不要跟我争是 \(O(V)\)。）
解法二
线性基！「非空子集异或和为零」是「非空子集线性相关」充要条件。
求有多少非空子集线性相关。延续前面几题的思想，一个基对应着若干个原序列的元素。（你忘了的话请看「前缀线性基」的引用段落）
剩下的元素的任意非空子集都有一个 Xor 值，且我们可以唯一选取选基的一个子集（可为空）使得它的异或和异或上 Xor 等于零。
哦！
我们每选取剩下元素的一种非空子集，对应着一种不同的选取方案（基里唯一选取）。
且，每一种合法选取，必对应上面这里的一种选取。
他们是双射！
答案就是 \(2^{n-l}-1\)！（\(l\) 是基大小）
减一你猜。
时间 \(O(19n)\)。
CF1163E Magical Permutation
我们可以先枚举 \(x\)，判断是否存在相邻两个数的 Xor 属于 \(S\) 的、\(0\to 2^x-1\) 的排列。简记 \(n=2^x-1\)。
设排列的第一个数为 \(\alpha\)，第二个为 \(\beta\)。设排列相邻两两异或值为 \(S_{i_1\to i_{n-1}}\)。
则 \(\alpha\oplus\beta=S_{i_1}\)，即 \(\beta=\alpha\oplus S_{i_1}\)。
那可以表示出整个排列：
\(\alpha\) 不知道哎！没关系！把排列每个数异或上 \(\alpha\)，得到的还是一个排列。
现在要解决：不断从 \(S\) 里选数，和上一个数异或，得出新一个数。重复这个操作，要构造排列。
我们设想一下，如果新选的数没被选过，那构造出的一定是新数。
否则，新选的数会和原先选过的异或相消，相当于删了一个数。
所以，这其实是不断在集合中加数、减数的一个过程。
我们用到的是全部最高位不超过 \(2^x\) 的 \(S\)。这些元素的张成是 \([0,2^x-1]\)，是有解的充要条件。
假设现在有解。
我们对这些元素建线性基，并提取出**在基中的 \(S\) **，记为 \(in\)。
则 \(in\) 大小等于 \(x\)。我们要构造一个二进制数的排列，相邻两个不同位置恰为 \(1\)，每个数都代表选择 \(in\) 里的哪些。
输出时可以用二进制数算出答案。
构造二进制数排列方法打个暴力找规律就会了。也可以去看别的题解。
\(in\) 这里讲的有些简陋。但如果你对前缀线性基里的引用段落完全理解，这一部分会很显然！
时间 \(O(\log^2 V\log n+V\log V)\)。
我们发现，许多题都是从 \(in\) 这种思想开始思考的，通常会有双射，这也是线性基强大之处之一。
P4869 albus就是要第一个出场
我还没做完……qwq……