线性代数期末速通-526互联

行列式（数值）
矩阵（数表）
向量（数组）
补充：
- 求和符号∑
  - 运算法则
- 累乘符号Π

推荐工具1

推荐工具2

行列式（数值）

逆序数

大的数排在小的数前面的个数。例如4213逆序数为3+1=4。

\[\tau(4213)=4 \]

逆序数为奇称奇排列，逆序数为偶称偶排列。

交换排列中的2个数称为对换，相邻的称为相邻对换。

任一排列对换后排列奇偶性改变。

行列式的性质

行列式计算的根本

若有n阶行列式，有

\[\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}(-1)^{\tau(j)}a_{ij}\right) \\ D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} \\ detA= \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}= \sum_{i=1}^{3}\left(\sum_{j=1}^{3}(-1)^{\tau(j)}a_{ij}\right) \\ 3! = 3 \times 3 \\ \mbox{1,2,3数共有3!项排列。}a_{1j},a_{2j},a_{3j}\mbox{j按排列取123} \\ \{\tau(123),\tau(231),\tau(312),\tau(132),\tau(213),\tau(321)\} \\= \{0+,2+,2+,1-,1-,1-\} \\ m_1=a_{11}a_{22}a_{33}, m_2=a_{12}a_{23}a_{31}, m_3=a_{13}a_{21}a_{32} \\ m_4=a_{11}a_{23}a_{32}, m_5=a_{12}a_{21}a_{33}, m_6=a_{13}a_{22}a_{31} \\ detA=m_1+m_2+m_3-m_4-m_5-m_6 \]

行列式转置

\[D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} \\ D^T= \begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{vmatrix} \\ D=D^T \]

行列式行（列）变换

变换一次，变号一次

\[D \overset{exr\ or\ exc}{=} -D \]

行列式某行列成比例

某行列成相同

\[D=-D\Rightarrow 0 \]

行列式公因子k可提

\[D= \begin{vmatrix} K & 2K & 3K \\ 4K & 5K & 6K \\ 7K & 8K & 9K \\ \end{vmatrix}=K^3 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} \]

行列式倍加D不变

\[D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix}\xrightarrow[c_2-c_1\times 1]{c_3-c_2\times 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix}=0 \]

某行列全0值0

\[D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix}= 0 \]

行列式某行列可拆

\[D= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2+2 & 2+3 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=-3 \]

k*某行列可加另某行列

补充|AB|=|A|+|B|

四阶以上行列式计算

变换为上下三角主对角线相乘

按行列展开(余子式与代数余子式)

\[D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 5 & 6 & 6 \end{vmatrix}\qquad M_{32}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 6 \end{vmatrix} \tag{余子式} \]

\[\tag{代数余子式} A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 6 \end{vmatrix} \]

\[D=\sum_{}^{}a_{ij}\times A_{ij} \]

异乘变零以及速算方法

两个不同行列元素的代数余子式相乘为0

证明：
假设进行第四行和第1行的代数余子式进行乘积之和计算，那么展开后的和就是将原行列式的第一行的元素替换成第四行元素行列式的值这样该行列式按照第一行展开后的。
内容就和刚刚的结果对应上了，而此时行列式的第一行和第四行相同，行列式的值就为0，那么第四行和第1行的代数余子式进行乘积之和也就为0。

\[\begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & 5 & 4 \end{vmatrix}= (-1)^{\tau(3142)}2\times (-1)\times (-3)\times 2 =-12 \]

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}=(-1)^{\tau(1243)}+(-1)^{\tau(1423)}=0 \\ \tag{所有可能性} \]

\[\begin{vmatrix} -1 & 0 & x & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} \mbox{可推：} (-1)^{(1+3)} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}= -4 \tag{求x系数} \]

范德蒙行列式

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ \end{vmatrix}=\Pi_{n\geq i>j\geq 1}(x_i-x_j) =\Pi_{3\geq i>j\geq 1}(x_i-x_j) =(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2) \]

\[D=D^T=\begin{vmatrix} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \\ \end{vmatrix}=abc \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \\ \end{vmatrix}=abc(b-a)(c-a)(c-b)\\ (c>b>a) \]

若在\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)中存在2个数相同吗，则\(D=0\)

eg

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 9 & 16 \\ 8 & -1 & 27 & 64 \end{vmatrix}=-120 \]

克莱姆法则

n元一次方程组与行列式,可见下文

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\\ \end{cases} \tag{线性方程组} \]

可得

\[D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \tag{系数行列式} \]

齐次线性方程组

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0\\ \end{cases} \tag{齐次线性方程组} \]

\(D=0时,有且仅有唯一解x_{1,2,3}=0\)

\(D\neq0时,有无数解。必存在自由未知量\)

非齐次线性方程组

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\\ \end{cases} 其中b_{1,2,3}不全为0 \tag{非齐次线性方程组} \]

\[非齐次\begin{cases} 无解,未知数n>方程数n\\ 有解\begin{cases} 唯一解,R(A|B)=R(A)=未知数n\\ 无数解,R(A|B)=R(A)<未知数n(存在自由未知量) \end{cases} \end{cases} \]

应用

\[求解方程组\begin{cases} 2x_1+3x_2=8\\ x_1-x_2=-1\\ \end{cases} \]

\[D=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-5\neq0 \\ D_1=\begin{vmatrix} 8 & 3\\ -1 & -1 \end{vmatrix}=-5 \\ D_2=\begin{vmatrix} 2 & 8\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-10 \\ x_1=\frac{D_1}{D}=1,x_2=\frac{D_2}{D}=2 \tag{常数项替换对应列} \]

矩阵（数表）

定义

零矩阵

所有元素为0

行列矩阵向量

单行单列的矩阵

方阵

行列数相同

负矩阵

\(-A=(-a_{ij})_{x\times n}\)

对角矩阵

主对角线外全0的方阵

数量矩阵

主对角线上全为a的对角方阵，\(a\times I\)

单位矩阵

主对角线全为1的对角方阵，\(I_n\ or\ E_n\)

同型矩阵

两个行列数相同的矩阵

矩阵运算

加法

分别相加

数乘

分别相乘

矩阵乘法

\[\sum_{s=i}^{k}a_{is}b_{sj}(i=1,2,\ldots,m;j=1,2,\ldots,n)\\ A_{ai2\times aj2}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix}, B_{bi2\times bj2}=\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ \end{vmatrix} \\ C_{aj2\times bi2}=\begin{vmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\ \end{vmatrix} \]

增广矩阵

右侧加入常数列

矩阵转置

\((A^T)^T=A\)

\((A+B)^T=A^T+B^T\)

\((AB)^T=B^TA^T\)

\((kA)^T=kA^T\)

对称矩阵

\(A^T=A\)

反对称矩阵

\(A^T=-A\)

初等行变换

等价!=相等

行阶梯矩阵

可画出一条阶梯线，线下方全为0
每个台阶只有一行

行最简形矩阵

行阶梯矩阵
各非零行首非零元是1
首非零元所在列的其余元素都是0

初等矩阵

\[E_3\xrightarrow[]{r_1\leftrightarrow r_3}E(1,3) \tag{交换r1,r3} \]

\[E_{m}(i,j)A\qquad \mbox{E左乘A，行变换} \\ AE_{m}(i,j)\qquad \mbox{E右乘A，列变换} \\ E_{m}(i(k))A\qquad \mbox{E左乘A，行变换，k倍乘} \\ E_{m}(i,j(k))A\qquad \mbox{E左乘A，行变换，i倍加j} \]

逆矩阵

既\(AB=BA=I,A^{-1}=B,B^{-1}=A\)

性质

\((A^{-1})^{-1}=A\)

\((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1},k \neq 0\)

\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)

定义

若A可逆,则A为非奇异矩阵(奇异矩阵:|A|=0)

若A可逆,即存在\(A^{-1}\) ,使\(AA^{-1}=I\) .设\(A_{ij}\)为矩阵A中元素 \(a_{ij}\)的代数余子式,有矩阵\(A^*\)

\[\tag{类似于转置} A^*=\begin{vmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \\ \end{vmatrix}=-1 \]

计算方法

1.伴随矩阵法

\[A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},detA=-1 \\ (A^*)^T=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^*=\begin{pmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^{-1}=\frac{A^*}{A}=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

2.初等行变换法

\[(A\quad I)=(I\quad A^{-1}) \\ \begin{pmatrix} A\\ I \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} I\\ A^{-1} \end{pmatrix} \]

补充:伴随矩阵拓展

伴随矩阵的逆矩阵

由行列式按行列展开定理得:

\[AA^*=A^*A=\begin{pmatrix} |A| & 0 & 0\\ 0 & |A| & 0\\ 0 & 0 & |A| \end{pmatrix}=|A|E \\ AA^*=|A|E= |A||A^*|=||A|E| \\ ||A|E|= \begin{pmatrix} |A| & 0 & 0\\ 0 & |A| & 0\\ 0 & 0 & |A| \end{pmatrix}=|A|^n \\ \therefore |A^*|=|A|^{n-1} \]

\[\because A^{-1}=\frac{A^*}{|A|} \\ AA^*=|A|E\Leftrightarrow A^*=|A|A^{-1} \\ \therefore (A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|A^{-1}}=\frac{A}{|A|} \]

矩阵的分块运算

可以按行列自行分块,块为若干小矩阵

\[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & {\color{Red} 1} & {\color{Red} 0}\\ -1 & 2 & {\color{Red} 0} & {\color{Red} 1}\\ -2 & 4 & 3 & 3\\ -1 & 1 & 3 & 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A_{11} & E \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \]

分块矩阵的加法/数乘/转置

分别加法/数乘

内外分别转置

分块矩阵的乘法

\[C_{ij}=\sum_{k=1}^{s}A_{ik}B_{kj},(i=1,2,\ldots,m;j=1,2,\ldots,n) \]

\[\begin{pmatrix} A_1 & E \\ O & A_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & B_1 \\ O & B_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A_1E+EO & A_1B_1+EB_2 \\ OE+A_2O & OB_1+A_2B_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A_1 & A_1B_1+B_2 \\ O & A_2B_2 \end{pmatrix} \]

矩阵的秩

\[在m\times n的矩阵A中任取k行和k列,按原来的相对次序组成二点k阶行列式称为矩阵A的k阶子式 \\ k阶子式共有C_m^k个(m中取k个),C_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{1\times 2\times 3} \\ ...使用初等行变换转为行阶梯矩阵来判断秩... \\ 矩阵的秩记为R(A)=r \]

向量（数组）

高斯消元法

将增广矩阵经过初等行变换转化为阶梯型矩阵

线性方程组的矩阵形式为

\[AX=b \]

无解的充要条件\(R(A)\neq R(A,b)\)
唯一解的充要条件\(R(A)=R(A,b)\)
无数解的充要条件\(R(A)=R(A,b)<n\)

可见前文

n维向量

\[由n个数构成的数组a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)称为n维向量 \\ 第i个数a_i称为向量a的第i个分量 \\ a称为列向量,a^T称为行向量 \\ 维:描述向量所用的实数量 \]

线性相关性

\[若\beta 存由k_1,\dots ,k_n能使\alpha 变为\beta ,则称\beta 为\alpha 的线性组合(\beta 可由\alpha 的线性表示) \\ eg. \alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \alpha_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \alpha_3=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \beta=2\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \\ \therefore \beta=\begin{pmatrix} 1,2,8 \end{pmatrix}^T 是向量组\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3的一个线性组合(线性表示) \]

充要条件\(R(A)=R(A,\beta)=R(B)\)

\[设 \alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \alpha_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \alpha_3=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}, \beta=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \\ B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta)\dots \begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \therefore\beta 可以由向量组\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示\\ R(A)=R(B)=2,x_3w为自由未知量.\\ 令x_3=1,通解为\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=c \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \]

向量的线性表示

等价\(R(A)=R(B)=R(A,B)\)

向量组线性相关

\[若有AK=0且k\neq 0\quad 线性相关\\ 若有AK=0且仅有k= 0\quad 线性无关 \]

PS.部分有关,整体有关.整体无关,部分无关

\[|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|= 0\quad线性相关 \\ |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|\neq 0\quad线性无关 \tag{3.1} \]

\[R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=个数\quad 无关\\ R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)<个数\quad 相关 \tag{3.2} \]

\[(m个n维向量):\\ (方阵)维数=个数\quad (3.1)\\ 维数<个数\quad 相关\\ 维数>个数\quad (3.2) \]

极大无关组

\[向量组A(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)线性无关,加长一个向量都线性相关. \\ 则称向量组A为极大无关组 \]

线性方程组解的结构

\(\xi\) ,克西

概念:导出组

\(AX=\beta \Rightarrow AX=0\)

概念:基础解系

\(若可求解向量组的极大无关组,则AX=0的全部解可由该极大无关组线性表示\)

\[自由未知量=未知数个数n-固定未知数个数R(a) \\ 自由未知量\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}= k_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+ k_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+ k_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \\ 解集S=\left\{\xi|A\xi=0 \right\}=\left\{\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n \right\} \]

计算方法

\[求基础解系\\ A \rightarrow行最简形矩阵R\\ R对应方程组\\ 首非零元(固定未知量)\quad 自由未知量\\ \]

\[eg.\\ \begin{cases} x_1+x_2-3x_3-x_4=1\\ x_1+3x_2-9x_3-7x_4=1\\ 3x_1+x_2-3x_3+3x_3=3\\ \end{cases}\\ 解:A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & -1 & 1\\ 1 & 3 & -9 & -7 & 1\\ 3 & 1 & -3 & 3 & 3\\ \end{pmatrix} \xrightarrow[r_2-r_1]{r_3-3r_1}\xrightarrow[r2\times \frac{1}{2}]{r_3+r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -3 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\\ \xrightarrow[]{r_1-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -3 & -3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \\ \therefore R(A,b)=R(A)=2<4,x_3,x_4为自由未知量 \\ 有\begin{cases} x_1+2x_4=1\\ x_2-3x_3-3x_4=0\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1=1-2x_4\\ x_2=3x_3+3x_4\\ \end{cases} \\ 令x_3=0,x_4=0\ 特解\eta=(1,0,0,0)^T \\ 当AX=0时,有\begin{cases} x_1+2x_4=0\\ x_2-3x_3-3x_4=0\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1=-2x_4\\ x_2=3x_3+3x_4\\ \end{cases}\\ 令\begin{pmatrix}x_3\\x_4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix} \\ \therefore\xi_1=\begin{pmatrix}0\\3\\1\\0\end{pmatrix}, \xi_2=\begin{pmatrix}-2\\3\\0\\1\end{pmatrix} \\ 非齐次线性方程组的特解为\\ x=\eta+k_1\xi_1+k_2\xi_2=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}0\\3\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-2\\3\\0\\1\end{pmatrix} \]