[ABC318E] Sandwiches 题解

题意简述

给定包含 \(n\) 个整数的序列 \(a\)，其中任意元素的值 \(a_i \in [1,n]\)，统计包含三个元素的满足以下条件有序三元组数量：满足下标严格递增；满足第一个和最后一个元素相等，而中间的元素和两端的元素不相等。

记录三元组 \((a_i,a_j,a_k)\)，即 \(1 \le i < j < k \le n , a_i = a_k \ne a_j\)。

思路分析

看到统计三元组就想到了扫描线。我们以 \(k\) 为扫描线，统计在 \(k\) 左侧的满足条件的三元组。

我们先观察到 \(a_i = a_k\) 是个比较严格的条件限制，于是我们可以 \(n\) 个 vector 维护每种数组的对应下标。现在我们画一张图：

我们令当前扫描线位置为 \(t\)，所有和 \(a_t\) 数字相同的，在 \(t\) 左侧的元素，下标为 \({idx}_i\)。那么除了这些元素，剩下的元素数字一定和 \(a_t\) 不同。我们统计每对 \({idx}_i\) 到 \(t\) 之间（假设之前共有 \(m\) 个，\(i \in [1,m]\)），和 \(a_t\) 数字不同的元素个数，在加和即可。注意要减掉区间中间，包含的数字等于 \(a_t\) 的元素数量，当然这个可以通过 \(i\) 算出来。

我们可以发现：

\[{idx}_1\text{的贡献：} t - {idx_1} - 2 - 1 \\ {idx}_2\text{的贡献：} t - {idx_2} - 1 - 1 \\ {idx}_3\text{的贡献：} t - {idx_3} - 0 - 1 \\ \dots\\ {idx}_i\text{的贡献：} t - {idx_i} - (m-i) - 1 \\ \]

根据等差数列等相关知识，不难得出：

\[\]

\[\begin{aligned} \text{总贡献} & = m \times t - \sum_i{{idx}_i} - m \times 1 - \frac{(m-1)m}{2} \\ & = m(t-1) - \frac{(m-1)m}{2} - \sum_i{{idx}_i} \end{aligned} \]

于是，我们甚至不用维护下标具体在哪里。我们只需要维护对于当前，之前下标的总和，和之前的下标总个数。计算完答案，在把当前的加入更新即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 3e5 + 5;

LL sumidx[N];
LL cntidx[N];

LL a[N];
LL n;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	LL ans = 0;
	for(LL i = 1;i <= n;i++)
	{
		ans += cntidx[a[i]]*(i-1ll) - sumidx[a[i]] - (cntidx[a[i]]-1)*cntidx[a[i]]/2ll;
		cntidx[a[i]]++;
		sumidx[a[i]] += i;
	}
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}