三维几何变换，是在二维基础上扩展z坐标得到。三维位置齐次坐标表示为4元列向量。任意三维变换序列，可通过合并相应变换矩阵，而得到一个矩阵来表示。
三维平移
点的平移
任意点P=(x,y,z)按向量\((t_x,t_y,t_z)\)平移后，得到新位置\(P'=(x',y',z')\)，有：
\[\tag{1}
x'=x+t_x, y'=y+t_y,z'=z+t_z
\]
用4元列向量齐次坐标表示平移变换，变换操作T是4x4矩阵：
\[\tag{2}
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1
\end{bmatrix}
\]
简洁形式：
\[\tag{3}
P'=T\cdot P
\]
对象的平移
对象的平移通过定义该对象的所有点的平移来实现。如果对象用一组多边形表示，这可将各个表面的顶点进行平移。
三维旋转
对象可以绕任意轴旋转，但绕平行于坐标轴的旋转更容易处理，故先讨论。
正旋转方向：视线沿着坐标轴负向观察原点，绕坐标轴逆时针旋转定义为正向旋转。
三维坐标轴旋转
绕z轴的二维旋转，可看做特殊三维旋转：
\[\tag{4}
\begin{aligned}
x' &= x\cos \theta - y\sin \theta \\
y' &= x\sin \theta + y\cos \theta \\
z' &= z
\end{aligned}
\]
变换矩阵：
\[R_z(\theta)=\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
坐标变换写成齐次坐标的矩阵形式：
\[\tag{5}
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1
\end{bmatrix}
\]
其中，\(\theta\)表示绕z轴旋转角度。
简洁形式：
\[\tag{6}
P'=R_z(\theta)\cdot P
\]
可以基于式(4)，用y替代x、z替代y、x替代z。循环替换顺序：
\[\tag{7}
x->y->z->x
\]
1）绕x轴旋转（x-axis rotation）变换公式：
\[\tag{8}
\begin{aligned}
y'&=y\cos\theta - z\sin\theta \\
z'&=y\sin\theta + z\cos\theta \\
x'&=x
\end{aligned}
\]
变换矩阵：
\[R_x(\theta)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0\\
0 & \sin\theta & -\cos\theta & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
2）绕y轴旋转（y-axis rotation）变换公式：
\[\tag{9}
\begin{aligned}
z'&=z\cos\theta-x\sin\theta \\
x'&=z\sin\theta+x\cos\theta \\
y'&=y
\end{aligned}
\]
变换矩阵：
\[R_y(\theta)=\begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 0 &1
\end{bmatrix}
\]
可以用\(-\theta\)替换旋转角\(\theta\)，得到逆旋转矩阵为原旋转的逆。根据式(5)，
\[\tag{10}
\begin{aligned}
R_z(-\theta)&=\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 \\
-\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\&= R_z(\theta)^T
\end{aligned}
\]
当然，求逆对于绕x轴、y轴旋转的变换矩阵同样成立。
一般三维旋转
绕任意轴的旋转，可用平移+坐标轴旋转的复合得到。
绕平行于坐标轴的轴旋转
平移+坐标轴旋转的复合=>变换矩阵。步骤：
1）平移对象，使其旋转轴与平行于该轴的坐标轴重合；
2）绕该坐标轴完成指定的旋转；
3）平移对象，将其旋转轴移回原来的位置。
对象上任意点P可通过复合变换得到新位置P'。例如，绕平行于x轴的轴旋转：
\[\tag{11}
\begin{aligned}
P'&=R(\theta)\cdot P \\
&=T^{-1}\cdot R_x(\theta)\cdot T\cdot P
\end{aligned}
\]
其中，\(R(\theta)\)为旋转变换的复合矩阵，\(R_x(\theta)\)为绕x轴旋转的变换矩阵。
绕任意轴旋转
多一步，需先将旋转轴旋转到与坐标轴重合。步骤：
1）平移对象，使旋转轴通过坐标原点；
2）旋转对象，使旋转轴与某一坐标轴重合；
3）绕该坐标轴旋转指定角度；
4）逆旋转，回到原来的方向；
5）逆平移，回到原来的位置。
假设旋转轴由2个点P1、P2确定，\(P_1(x_1,y_1,z_1)，P_2(x_2,y_2,z_2)\)。
- 如果沿着P2到P1的方向观察，旋转方向为逆时针，则轴向量V可定义为：
\[\tag{12}
\begin{aligned}
V&=P_2-P_1 \\
&=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)
\end{aligned}
\]
旋转轴的单位向量u：
\[u={V\over |V|}=(a,b,c)
\]
其中，分量a、b、c为旋转轴的方向余弦：
\[\tag{13}
a={x_2-x_1\over |V|}, b={y_2-y_1\over |V|}, c={z_2-z_1\over |V|}
\]
- 如果以相反方向旋转（顺时针），则要将轴向量V和单位向量u取反。
tips：何为方向余弦？
假设旋转轴单位向量u与x、y、z轴夹角分别为\(\alpha, \beta, \gamma\)，而u模（长度）为1（\(|u|=1\)），则向量u可表示为：
\[\begin{aligned}
u&=(1*\cos\alpha, 1*\cos\beta, 1*\cos\gamma) \\
&=(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)
\end{aligned}
\]
因此，u的分量a、b、c称为方向余弦。
下面对每一步分析：
1）平移对象，建立使旋转轴通过原点的平移变换矩阵。由于需要从P2往P1看的逆时针旋转，因此将P1（而非P2）移动到原点。变换矩阵：
\[\tag{14}
T=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -x_1 \\
0 & 1 & 0 & -y_1 \\
0 & 0 & 1 & -z_1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
2）将旋转轴旋转至与z轴重合。2次旋转：绕x轴旋转，绕y轴旋转。绕x轴旋转，将轴向量u变换到xz平面；绕y轴旋转，将u变换到z轴上。
（1）绕x轴旋转至与z轴重合，得到变换矩阵.
设u在yz平面投影为向量\(u'=(0,b,c)\)，则旋转角\(\alpha\)（u'与z轴夹角）对应余弦：
\[\tag{15}
\cos\alpha={u'\cdot u_z\over |u'||u_z|}={c\over d}
\]
其中，\(u_z\)为z轴上单位向量，d为u'的模。
\[\tag{16}
\begin{aligned}
d&=\sqrt{b^2+c^2} \\
u_z&=(0,0,1)
\end{aligned}
\]
\(u'(0,b,c)\)及其在z轴投影构成的直角三角形如下：
![b48de02d98061f443a891db4f1952718.png]()
注意：u'在z轴投影不是\(u_z\)，也不是单位向量。
将向量u分2步旋转到z轴的示意图（注意逆时针旋转）：
![b54b63dccb81ce517d36917830a0decc.png]()
等价于将u'（u在yz平面投影）绕x轴旋转α角：
![34db4fb39213142d3264ed95420546d4.png]()
绕x轴旋转α角，可以将u旋转到xz平面。对应旋转矩阵：
\[\tag{17}
R_x(\alpha)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\
0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
而\(\sin\alpha\)可由叉积得到：
\[\begin{aligned}
u'\times u_z&=u_x|u'||u_z|\sin\alpha, 叉积方向符合右手定则, 这里u_x(1,0,0)代表方向 \\
&=u_x|u'|\cdot 1\cdot \sin\alpha \\
&= u_x\cdot b
\end{aligned}
\]
记\(|u'|=d\)，有
\[u_x=(1,0,0)\implies |u_x|=1 \\
\therefore d\sin\alpha=b, \sin\alpha={b\over d} \tag{18}
\]
现已求得\(\cos\alpha, \sin\alpha\)，代入(17)，可得：
\[\tag{19}
R_x(\alpha)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & {c\over d} & -{b\over d} & 0\\
0 & {b\over d} & {c\over d} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
（2）再绕y轴旋转，将xz平面上单位向量旋转至与z轴正方向重合，得到变换矩阵。
单位向量u绕x轴逆时针旋转α角得到位于xz平面的单位向量u''，再绕y轴逆时针旋转β角，得到位于z轴的单位向量\(u_z(0,0,1)\)。
u''是u(a,b,c)绕x轴旋转得到，因此x分量不变；因为u''位于xz平面，所以y分量为0。设u''=(a,0,z)，有
\(
\because u''由u旋转得到\\
\therefore 长度不变, |u''|=|u|=\sqrt {a^2+b^2+c^2} = 1\\
\therefore a^2+b^2+c^2=1\\
\because d=\sqrt {b^2+c^2}>0\\
\therefore a^2+d^2=1\\
而根据u''坐标, |u''|=\sqrt {a^2+z^2}=1=\sqrt {a^2+d^2}\\
\therefore |z|=d
\)
这里取z=d。
思考问题：为什么z=d，而不是z=-d？
Donald Hearn注，蔡士杰译《计算机图形学（第4版）》给出的解释是：因为u'旋转到z轴上，故u''的z分量为d。这里不以为意，因为u'是u在yz平面投影，与u''并没有直接联系。而且，d为u'的模（正直），但u旋转后得到u''的z分量完全可能为负值。
因为旋转变换矩阵与旋转角余弦、正弦值有关，因此通过点积、叉积来求。
点积求\(\cos\beta\)：
\[\tag{20}
\cos\beta={u''\cdot u_z\over |u''||u_z|}={(a,0,d)\cdot (0,0,1)\over |1||1|}={d\over 1}=d
\]
叉积求\(\sin\beta\)：
\[\begin{aligned}
u''\times u_z&=u_y|u''||u_z|\sin\beta \\
&=u_y\cdot (-a)
\end{aligned} \\
\implies \sin\beta=-a \tag{21}
\]
因此，u''绕y轴的旋转变换矩阵：
\[\tag{22}
\begin{aligned}
R_y(\beta)&=\begin{bmatrix}
\cos\beta & 0 & \sin\beta & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
-\sin\beta & 0 & \cos\beta & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
d & 0 & -a & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
a & 0 & d & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
3）绕旋转轴旋转
经过平移、绕x轴旋转、绕y轴旋转后，可以将旋转轴对齐到z轴正方向。此时，绕旋转轴旋转\(\theta\)，可以直接用关于z轴旋转的矩阵变换：
\[\tag{23}
R_z(\theta)=\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
4）5）逆旋转、逆平移回原来的位置
对任意轴的旋转，变换矩阵可以表示成：
\[\tag{24}
R(\theta)=T^{-1}\cdot R_x^{-1}(\alpha)\cdot R_y^{-1}(\beta)\cdot R_z(\theta)\cdot R_y(\beta)\cdot R_x(\alpha)\cdot T
\]
三维缩放
相当于原点的缩放
相对于原点的三维缩放变换：
\[\tag{25}
\begin{bmatrix}
x' \\ y' \\ z' \\ 1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ 1
\end{bmatrix}
\]
其中，缩放参数\(s_x, s_y, s_z\)为指定的任意正值。原坐标与变换后坐标关系为：
\[\tag{26}
\begin{aligned}
x'&=x\cdot s_x\\
y'&=y\cdot s_y\\
z'&=z\cdot s_z
\end{aligned}
\]
简写：
\[\tag{27}
P'=S\cdot P
\]
缩放系数>1 ，代表沿该方向放大物体；缩放系数<1，代表沿该方向缩小物体；缩放系数\(s_x=s_y=s_z=1\)，代表保持原来的形状。缩放系数必须>0。
相对于任意点的缩放
步骤：
- 平移指定点到原点；
- 使用相对于原点缩放对象；
- 将指定点平移回原位置。
相当于任意点\((x_f,y_f,z_f)\)的缩放变换矩阵：
\[\tag{28}
\begin{aligned}
T(x_f,y_f,z_f)\cdot S(s_x,s_y,s_z)\cdot T(-x_f, -y_f, -z_f)
&=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & x_f\\
0 & 1 & 0 & y_f\\
0 & 0 & 1 & z_f\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 & 0\\
0 & 0 & s_z & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -x_f\\
0 & 1 & 0 & -y_f\\
0 & 0 & 1 & -z_f\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 & (1-s_x)x_f\\
0 & s_y & 0 & (1-s_y)y_f\\
0 & 0 & s_z & (1-s_z)z_f\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
三维复合变换
类似于二维复合变换，可以将三维变换序列中各个变换矩阵相乘，得到三维复合变换。最右边的矩阵是最先作用于对象的，最左边是最后一个。
OpenGL矩阵栈
使用glMatrixMode选择建模观察复合变换矩阵，用于以后的OpenGL变换调用。
对支持的4种模式（建模观察、投影、纹理、颜色）的每一种，OpenGL维护一个矩阵栈。开始时，每个栈仅包含单位矩阵；处理场景时，栈顶的矩阵称为该模式的“当前矩阵”。指定观察和几何变换后，建模观察栈（modeview matrix stack）顶是一个4x4复合矩阵，应用于场景的观察变换和各种几何变换。
因为可能要创建多个视图和变换序列，然后分别保存复合矩阵，所以OpenGL提供深度至少为32的建模观察栈。
glGetIntegerv(GL_MAX_MODEVIEW_STACK_DEPTH, stackSize);
将一个整数值返回给数组stackSize。另外3个矩阵模式（投影、纹理、颜色）的栈深度至少为2，可用下列符号常量确定：GL_MAX_PROJECTION_STACK_DEPTH, GL_MAX_TEXTURE_STACK_DEPTH, GL_MAX_COLOR_STACK_DEPTH。
glGetIntegerv(GL_MODEVIEW_STACK_DEPTH, numMats);
如果在栈处理前调用该函数，则返回1，此时仅包含单位阵。类似的复合常量也可用来确定其他三个栈中当前矩阵数
复制栈顶的当前矩阵，兵存入第二个栈位置
glPushMatrix();
破坏栈顶矩阵，使第二个矩阵称为当前矩阵。如果“弹出”栈顶，栈内至少要2个矩阵；否则出错。
glPopMatrix();