歌唱王国

题目链接：luogu P4548

题目大意

多次询问，每次给你一个字符串，然后有 n 种字符，猴子随机打字。
每个字符打出来的概率相同，然后打出一个串使得给出串是它的子串就停止，问你停止的时候打出来的字符串的期望长度。

思路

首先简单说一下用生成函数的做法：
\(f_i\) 是长度为 \(i\) 结束的概率，\(g_i\) 是长度为 \(i\) 还没结束的概率。
那一个经典的时候是每个 \(f_i\) 贡献倍率是 \(i\)，那我们要的答案其实就是 \(F'(1)\)

然后列相关的式子。
首先接下来打了一个字符，分成结束了和没有结束。
\(xG(i)+1=F(x)+G(x)\)

那考虑如果你一直按要求加，加 \(m\) 次一定能结束，但是可能在之前就结束了，因为有 border。
于是我们设 \(op_i\) 是 \([1,i]\) 是否是这个串的 border：
\(G(x)(\dfrac{1}{n}x)^m=\sum\limits_{i=1}^ma_iF(x)(\dfrac{1}{n}x)^{m-i}\)

然后把第一个式子求导：
\(xG'(i)+G(x)=F'(x)+G'(x)\)
\(F'(x)=(x-1)G'(x)+G(x)\)

那我们要的是 \(F'(1)\)，直接带入：\(F'(1)=G(1)\)
那也就是要求 \(G(1)\)，那就利用上另一个式子，也带入：
\(G(1)(\dfrac{1}{n})^m=\sum\limits_{i=1}^ma_iF(1)(\dfrac{1}{n})^{m-i}\)
\(G(1)=\sum\limits_{i=1}^ma_iF(1)n^i\)

考虑 \(F(1)\) 是多少，那思考一下就是每一项的系数加起来，那所有长度结束的概率的和不就是 \(1\) 嘛。

\(ans=F'(1)=G(1)=\sum\limits_{i=1}^ma_in^i\)

不难扩展出当每个字符不一样概率的时候，那每个字符概率是 \(p_i\)，给出字符串是 \(b_i\)，那就是：
\(ans=F'(1)=G(1)=\sum\limits_{i=1}^ma_i(\prod\limits_{j=1}^ip_{b_i})\)

然后说人类智慧。
这是一个有关鞅（martingale）的方法，不过我们可以把它具象成公平赌博中的博弈。

考虑这么一个赌场，每天选择的字符按顺序是你要求的字符，每天会有一个新人进来，一开始他只有一块钱，他也会按你要求的字符按顺序每天赌，会把全部钱都拿来赌，赔率是 \(1:\)这个字符出现概率的倒数，赌输了就走。
然后赌场把字符放完就让所有人滚。

首先赔率显然没问题，因为要公平。
那接着你注意到是公平博弈，所以赌场要不赚不亏。
那我们可以看赚钱的人总共赚了多少。
那就是：

\(w=\sum\limits_{[1,i]is\ border}^ma_i(\prod\limits_{j=1}^ip_{b_i})\)

那赌场要不亏不赚，那进来的钱是多少，是人数，其实也就是字符串长度。
那赌场应该让 \(w\) 个人进来，那就是字符串的期望长度就是 \(w\)。

（在鞅的角度大概是你每个时刻每个赌徒的钱数是一个商，然后所有赌徒钱加起来的值 \(M_i\) 也是鞅）
（然后 \(T\) 是判断要不要停下来的停时 \(\{T=n\}\)，然后有个可选停止定理有 \(\mathbb{E}M_T=\mathbb{E}M_0\)）
（那一开始 \(M_0=0\)，所以 \(\mathbb{E}T=M_T\)）
（~~小孩子不懂事瞎说的~~）

那实现很简单，直接每次建 KMP，然后跳 fail 即可。

代码

#include<cstdio>
#define mo 10000

using namespace std;

const int N = 1e5 + 100;
int n, t, m, a[N], fail[N], cf[N];

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &t);
	
	cf[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) cf[i] = cf[i - 1] * n % mo;
	
	while (t--) {
		scanf("%d", &m);
		for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &a[i]);
		int j = 0;
		for (int i = 2; i <= m; i++) {
			while (j && a[j + 1] != a[i]) j = fail[j];
			if (a[j + 1] == a[i]) j++; fail[i] = j;
		}
		int ans = 0;
		for (int now = m; now; now = fail[now]) (ans += cf[now]) %= mo;
		if (ans < 1000) printf("0");
		if (ans < 100) printf("0");
		if (ans < 10) printf("0");
		printf("%d\n", ans);
	}
	
	return 0;
}