泊松求和公式
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi f kt}
\]
证明：
令
\[g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
\]
可以发现\(g(t)\)是周期为T的周期函数的周期函数。那么对\(g(t)\)进行傅里叶级数展开
\[\begin{aligned}
g(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}G_{k}e^{j2\pi f kt}
\end{aligned}\]
上式的第二行是在一个周期内积分，只有在\(t=0\)时有值。
其中
\[\begin{aligned}
G_{k} &= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}g(t)e^{-j2\pi f kt}dt\\
&= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)e^{-j2\pi f kt}dt\\
&= \frac{1}{T}
\end{aligned}\]
所以可得
\[g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi f kt}
\]