前言
在三角函数章节中，我们学习了许多公式，比如同角三角函数关系，诱导公式，和角公式，差角公式，二倍角公式，半角公式等；当这些角放置到三角形中，由于有了内角和的限定等，所以它们又有了不同的外在形式；
编辑中。。。
三角形内角和
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\(A+B+C=\pi\)，\(A+B=\pi-C\)，\(\cfrac{A+B}{2}=\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2}\)，\(A，B，C\in(0,\pi)\)，
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三角形中的互补关系
\(\sin(A+B)=\sin(\pi-C)=\sin C\)，
\(\cos(A+B)=\cos(\pi-C)=-\cos C\)，
\(\tan(A+B)=\tan(\pi-C)=-\tan C\)，
- 三角形中的互余关系
\(\sin\cfrac{A+B}{2}=\sin(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=\cos\cfrac{C}{2}\)，
\(\cos\cfrac{A+B}{2}=\cos(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=\sin\cfrac{C}{2}\)，
\(\tan\cfrac{A+B}{2}=\tan(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=\cot\cfrac{C}{2}\)，
- 三角形中的射影定理
\(a=b\cdot cosC+c\cdot cosB\)，\(b=a\cdot cosC+c\cdot cosA\)，\(c=b\cdot cosA+a\cdot cosB\)，
相关不等式
证明：由于在锐角\(\Delta ABC\)中，故\(A+B>\cfrac{\pi}{2}\)，即\(A>\cfrac{\pi}{2}-B\)，此时\(A\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，\(\cfrac{\pi}{2}-B\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，
而函数\(y=sinx\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是单调递增的，故\(sinA>sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=cosB\)，即\(sinA>cosB\)，
同理，函数\(y=cosx\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是单调递减的，故\(cosA<cos(\cfrac{\pi}{2}-B)=sinB\)，即\(cosA<sinB\)。
- 在\(\Delta ABC\)中，$A>B\Leftrightarrow sinA>sinB\Leftrightarrow a>b $(利用正弦定理和大角对大边可证明)
在\(\Delta ABC\)中，\(A>B\Leftrightarrow cosA<cosB\)(利用余弦函数的单调性可证明)
- “\(a^2+b^2>c^2\)”是“\(\triangle ABC\)是锐角\(\triangle\)”的必要不充分条件；
“\(a^2+b^2<c^2\)”是“\(\triangle ABC\)是钝角\(\triangle\)”的充分不必要条件；
“\(a^2+b^2=c^2\)”是“\(\triangle ABC\)是\(Rt\triangle\)”的充分不必要条件；
相关恒等式
证明： 由于 \(tan(\alpha+\beta)=\cfrac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\cdot tan\beta}\)，
我们对其做变形，得到
\(tan(\alpha+\beta)\cdot (1-tan\alpha\cdot tan\beta)=tan\alpha+tan\beta\)
如果将其放置到斜三角形指锐角三角形和钝角三角形。和直角三角形并列。中，即能保证 \(A，B，C\neq \cfrac{\pi}{2}\)，
则有\(tan(A+B)\cdot (1-tanA\cdot tanB)=tanA+tanB\)，
在三角形中，由\(A+B+C=\pi\)可知\(A+B=\pi-C\)，
则有\(tan(A+B)=-tanC\)，代入上式即得到，
整理后得到，$$tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB \cdot tanC$$