The Stable Manifold Theorem on Maps

在动力系统中, 主要有两种类型的研究对象: 其一是以映射迭代为主要研究对象的离散动力系统和以微分方程为主要研究对象的连续动力系统. 在动力系统的研究中, 人们企图通过寻找不变流形来对研究的系统进行降维以达到简化研究的目的. 在以微分方程为主要研究对象的微分动力系统的研究中, 两个特殊的不变流形得到人们的广泛研究和关注: 稳定流形和中心流形. 本次我们就映射的稳定流形定理给出完整的表述和证明, 之后作者将给出中心流形定理.

下面的内容源于张筑生老师的《微分动力系统原理》第十章的内容, 作者在学习的过程中对细节的理解增加了许多新的理解与体会, 通过阅读下面的内容会让读者对稳定流形定理以及它的证明有深刻的理解与认识.

什么是双曲线性映射

设 \((E,||\cdot||)\) 是Banach 空间, \(A: E\to E\) 是可逆线性映射, 如果\(E\)可以分解为关于\(A\)的不变闭线性子空间 \(E^s\) 和 \(E^u\) 的直和:

\[E=E^s\oplus E^u,~~AE^u=E^u,~~AE^s=E^s, \]

并且存在常数 \(C_1,C_2>0\) 和 \(0<\lambda<1\), 使得

\[||A^k x_u||\ge C_1 \lambda^{-k} ||x_u||, ~~\forall ~x_u\in E^u, k=1,2,3,\cdots \]

\[||A^k x_s||\le C_2 \lambda^{k} ||x_s||, ~~\forall ~x_s\in E^s, k=1,2,3,\cdots \]

上述分解是非常重要的, 有了这样的分解以后, 我们便可以通过投影在每个子空间上利用压缩映像原理，当然在\(E^u\) 上需要考虑 \(f^{-1}\).

注 1：通常我们说平衡点\(0\)是映射\(f\in C^1\)的双曲平衡点是指其导算子\(Df(0)\)是双曲线性映射, 但通常不能说\(Df(0)\)的特征值的实部不为0就称0是双曲平衡点, 因为如果\(f\)是有限为空间中的线性映射时, 上述的\(\lambda\)可以视为\(Df(0)\)到虚轴的最小距离, 对于有限维情况，只要每一个特征值的实部不为0, 那么所有特征值与虚轴之间一定有一个一致的 "带宽" or "间隙(gap)", 但是对于无穷维的情况这种带宽能否存在很难说的清楚, 这是因为特征值的个数都可以是无穷多.

注 2：假设 \(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\) 是 \(C^1\) 映射, \(f(0)=0\), 如果 \(Df(0)\) (此时\(Df(0)\)为\(f\)在\(0\)处的Jacobi矩阵\(\frac{\partial f(0)}{\partial x}\))的所有特征值的实部全非0，那么\(0\)是\(f\)是双曲不动点.

稳定流形定理

假设 (\(E\), \(||\cdot||\))是一个Banach空间，\(f\in C^1(U,E)\), \(0\) 是 \(f\) 的一个双曲不动点, 那么 \(f\) 可以写成 \(f(x)=Df(0)x+\varphi(x)\) 的形式, 其中 \(Df(0):U\to E\) 是一个双曲线性映射, \(\varphi(0)=0\) 且\(D\varphi(0)=0\).

为了更一般地讨论, 我们考虑更广泛的具有形式 \(f=A+\varphi\) 映射\(f\), 其中 \(A\) 是一个双曲线性映射并且具有斜度 \(\tau\in (0,1)\), 即 \(||A|_{E^s}||\le \tau\) 且 \(||A|_{E^u}^{-1}||\le \tau\), \(\varphi\) 是Lipschitz映射且 \({\rm Lip}(\varphi)<\varepsilon<\min\{1-\tau,\frac{1}{2}(\tau^{-1}-1).\) [ 这里注意: 即使 \(\varphi\in C^1\), 这里也并未要求\(D\varphi(0)=0\), 因此对于\(f=A+\varphi\in C^1\), 可以有 \(\varphi\ne f-Df(0)\). 正是如此所得到的稳定流形\(\{(x_s,g(x_s))|x_s\in E^s(b)\}\) 在 \(0\)处的切空间 \(\{(x_s,Dg(0)(x_s))|x_s\in E^s(b)\}\) 并不等于 \(A\) 的稳定(收缩)子空间\(E^s(b)\). 如果要求 \(f\in C^1\)且 \(\varphi=f-Df(0)\), 那么可以证明得到的稳定流形在 \(0\) 处的切空间就是 \(Df(0)\) 的稳定子空间. 换言之, 后者得到的稳定流形在 \(0\) 处与 \(Df(0)\)的稳定子空间是相切的. ]

直观理解

正如上面指出的, 我们针对连续映射来讨论它们的稳定流形. 直观上, 一个映射\(f\)在某个不动点\(x_0\)的稳定流形(\(W^s(0,f)\))就是使得在\(f\)的正向迭代下趋于\(x_0\)的哪些点的集合, 当然不稳定流形就是在\(f^{-1}\)迭代下趋于\(x_0\)的哪些点的集合.

稳定流形定理:

设 \(f=A+\varphi:E(b)\to E\) 是一映射, 其中 \(A\) 是斜度为\(\tau\)的双曲线性映射, \(\varphi:E(b)\to E\) 满足

\[\begin{equation} {\rm Lip}(\varphi)<\varepsilon< \min\{1-\tau,\frac{1}{2}(\tau^{-1}-1)\},~~\varphi(0)=0. \end{equation} \]

则存在Lipschitz映射

\[\begin{equation} g:E^s(b)\to E^u(b), ~~{\rm Lip}(g)\le 1, \end{equation} \]

使得\(g\)的图像恰好为\(f\)的局部稳定流形, 即

\[\begin{equation} \mathcal{G}(g)=\{(x_s,g(x_s)|x_s\in E^s(b)\}=W^s_E(b)(0,f). \end{equation} \]

如果 \(f\) (因而\(\varphi=f-A\)) 在 \(E(b)\)上还是 \(C^r\) 的, 那么 \(g\) 在 \(E^s(b)\) 上也是 \(C^r\) 的.

注意到\(E(b)\)的限定使得这个定理只能称作为局部稳定流形定理,因为它并没有包含稳定流形上的所有点.

这个定理的证明是非常经典的, 当然也是有一定难度的, 其中的思想非常精彩.

下面的证明并非作者独创, 只是学习了前人的证明, 并增加了自己的理解.

稳定流形定理的证明：

首先, 如果 \(x=(x_s,x_u)\) 是\(f\)的双曲不动点\(0\)的局部稳定流形\(W_{E(b)}^s(0,f)\)上的点, 那么必然会有

\[f^k(x_s,x_u)=(A+\varphi)^k\in E(b),~~k=1,2,\cdots \]

\[\lim_{k\to\infty} f^k(x_s,x_u)=\lim_{k\to\infty} (A+\varphi)^k(x_s,x_u)=0. \]

下面的每一步都是非常美妙的！

对于 \(E\) 的任何一个子集 \(S\), 记 \(\mathscr{S}(S)\) 是 \(S\) 中满足下面条件的点列 \(r=\{r(k)\}_{k\ge 0}\) 的集合. 如果\(S=E\), 我们可以在 \(\mathscr{S}(E)\) 中引入(逐项计算的)加法和数乘, 同时引入范数

\[||r||=\sup_{k}||r(k)||, \]

那么 \(\mathscr{S}(E)\) 是一个Banach空间. 进而, 对于 \(E\) 的闭子集 \(E(b)\), \(\mathscr{S}(E(b))\) 是一个完备子集, 即其中的Cauchy列收敛但它显然不是线性空间.

在\(\mathscr{S}(E(b))\)中我们找满足

\[\begin{equation} r(k+1)=(A+\varphi)r(k),~k=0,1,2 \end{equation} \]

的序列的集合, 并把这样的点的集合记为 \(\mathscr{S}_0(E(b))\)
[这个集合中的点才是对我们有用的点, 因为这样的一个点列恰好对于一条在\(f\)迭代下趋于0的轨道，正如上面我们说过的，稳定流形就是正向迭代下趋于0的点的集合. 把 \(\mathscr{S}_0(E(b))\) 中点列的初值取出来就构成稳定流形上的点. ].

把上面的(4)分别向 \(E^s\) 和 \(E^u\) 上投影, 得到

\[\begin{equation} r_s(k+1)=A_s r_s(k)+\varphi_s(r(k)), \end{equation} \]

\[\begin{equation} r_u(k+1)=A_u r_u(k)+\varphi_u(r(k)),\\ \end{equation} \]

为了下面利用压缩性, 将上式改写:

\[\begin{equation} r_s(k)=A_s r_s(k-1)+\varphi_s(r(k-1)), \end{equation} \]

\[\begin{equation} r_u(k)=A_u^{-1}[ r_u(k+1)-\varphi_u(r(k))]. \end{equation} \]

下面是最关键的一步：

任意的 \(x_s\in E^s(b)\) 和任意的 \(r\in \mathscr{S}_0(E(b))\), 定义新的序列：

[视 \(x_s\) 为参数].

\[\begin{equation} \mathcal{T}_s(,x_s,r)(k)=\left\{ \begin{aligned} &x_s, &&k=1 \\ &A_s r_s(k-1)+\varphi_s(r(k-1)), &&k\ge 1 \end{aligned} \right. \end{equation} \]

\[\begin{equation} \mathcal{T}_u(x_s,r)(k)=A_u^{-1}[ r_u(k+1)-\varphi_u(r(k))], ~~k=0,1,2. \end{equation} \]

[注意：当\(r\in \mathscr{S}_0(E(b))\)是给定后, 上述两式右端是确定的, 因而 \(\mathcal{T}_s,\mathcal{T}_u\) 的定义合理. 此外, 确实有\(\mathcal{T}_s(x_s,r)(k)，\mathcal{T}_u(x_s,r)(k)\to 0,k\to 0\). 注意上面的定义中\(r(0)\)也被取到了.
].

[每一个\(x_s\), 把\(x_s\)当做第0项, 然后把每个\(r\in \mathscr{S}_0(E(b))\) 放在后面, 这样每一个\(x_s\)都对应了一个族\(\{(x_s,r)_{r\in \mathscr{S}_0(E(b))}\}\), 这里与\(x_s\)相匹配的\(x_u\)还没确定, 我们想要去找\(x_u=g(x_s)\) 使得 \((x_s,g(x_s))\)这个点在\(A+\varphi\)作用下确实恰好有一个\(r\in \mathscr{S}_0(E(b))\), 使得\((A+\varphi)(x_s,g(x_s))=r(0)\). 这样既保证了
\(r^{\prime} (k+1)=(A+\varphi)r^{\prime}(k)\), 同时又保证了 \(r^{\prime}(k)\to 0, ~ k\to \infty\), 这里\(r^{\prime}(k)=\mathcal{T }(x_s,r)(k)=(\mathcal{T}_s(x_s,r)(k),\mathcal{T}_u(x_s,r)(k))\). 我们要证明这样的\(x_u\)存在且唯一, 于是可以定义\(g(x_s)=x_u\).
]

估计

\[||\mathcal{T}_s(x_s,r)-\mathcal{T}_s(x_s,r^{\prime})||\le (\tau+\varepsilon)||r-r^{\prime}||,\\ ||\mathcal{T}_u(x_s,r)-\mathcal{T}_u(x_s,r^{\prime})||\le \tau(1+\varepsilon)||r-r^{\prime}||. \]

进而,

\[||\mathcal{T}(x_s,r)-\mathcal{T}(x_s,r^{\prime})||=\\ \max\{||\mathcal{T}_s(x_s,r)-\mathcal{T}_s(x_s,r^{\prime})||,||\mathcal{T}_u(x_s,r)-\mathcal{T}_u(x_s,r^{\prime})||\} \]

\[\le (\tau+\epsilon)||r-r^{\prime}||, \]

\(\mathcal{T}\)关于第二变元一致压缩. 因此有唯一的不动点, 即存在唯一的\(\eta(x_s)\subset \mathscr{S}_0(E(b))\) 使得

\[\begin{equation} \mathcal{T}(x_s,\eta(x_s))(k)=\eta(x_s)(k)=(\eta_s(x_s)(k),\eta_u(x_s)(k)). \end{equation} \]

注意到 \(\mathcal{T}(x_s,\eta(x_s))(k)=(\mathcal{T}_s(x_s,\eta(x_s))(k),\mathcal{T}_u(x_s,\eta(x_s))(k))\).
综上两式并注意到\(\mathcal{T}_s(x_s,\eta(x_s))(0)=x_s\)得到\((\eta_s(x_s)(0),\eta_u(x_s)(0))=(x_s,\eta_u(x_s)(0))\). 这样得到的\(\eta_u(x_s)(0)\)具有唯一性, 因此可以定义

\[g(x_s)=\eta_u(x_s)(0)=\pi_u\circ \rho\circ \eta,(x_s) \]

其中 \(\rho\)是取第0项, \(\pi_u\)是到\(E^u\)的投影, 两者都是有界线性映射, 因此是\(C^\infty\)的.

验证：

\[(A+\varphi)(x_s,g(x_s))=r(0). \]

事实上, 由(11), 所要找到满足上式的唯一的\(r\)就是\(\mathcal{T}\)的唯一不动点 \(\eta(x_s)\).