6.1 代数结构
代数系统（代数）：非空集合 \(S\) 和 \(S\) 上的 \(k\) 个一元或二元运算 \(f_1, f_2, \cdots f_k\) 组成的系统。记作 \(<S, f_1, f_2, \cdots, f_k>\) 。
6.1.1 代数运算
设 \(A, B\) 是非空集合， \(f\) 是从 \(A ^ n\) 到 \(B\) 的一个映射，则称 \(f\) 为集合 \(A ^ n\) 到 \(B\) 的一个 \(n\) 元代数运算。（其中 \(n\) 称作该运算的阶）。
\(+, -, *, \circ\) 等这些符号加上 普通 的前缀，才代表的是其原来的运算。
运算的封闭性
设 \(f\) 为集合 \(A ^ n\) 到 \(B\) 的一个 \(n\) 元运算。若 $B \subseteq A $ ,则称 \(f\) 在集合 \(A\) 上是封闭的。
e.g. 普通减运算在 \(\mathbb N\) 上不封闭。
运算性质 - 交换律
设 \(*\) 为 \(S\) 上的二元运算，若 $ \forall x, y \in S$ 都有：
则称运算 \(*\) 在 \(S\) 上可交换。
若已知该运算的运算表，则可通过判断该表是否满足沿主对角线对称，来判断是否满足交换律。
运算性质 - 结合律
设 \(*\) 为 \(S\) 上的二元运算，若 $ \forall x, y, z \in S$ 都有:
则称运算 \(*\) 在 \(S\) 上可结合。
判断该运算是否满足结合律，不能通过运算表直观的看出来。
运算性质 - 分配律
设 \(*, \circ\) 为 \(S\) 上的二元运算，若 $ \forall x, y, z \in S$ 都有：
则称 \(*\) 对 \(\circ\) 可分配。
运算性质 - 吸收律
设 \(*, \circ\) 为 \(S\) 上的二元运算，若 $ \forall x, y \in S$ 都有：
则称 \(*\) 对 \(\circ\) 可吸收。
若 \(*\) 满足交换律，则只需证明一边满足吸收律即可。
e.g. 集合中的 \(\bigcup\) 运算对 \(\bigcap\) 运算可吸收。因为 \(A \bigcup (A \bigcap B) = A\)（右可吸收同理）。
运算性质 - 等幂律
设 \(*\) 为 \(S\) 上的二元运算，若 $ \forall x \in S$ 都有:
则称运算 \(*\) 在 \(S\) 上满足等幂律。
运算性质 - 消去律
设 \(*\) 为 \(S\) 上的二元运算，某个元素 \(a \in S\)，若 $ \forall x, y \in S$ 都有：
则称 \(a\) 关于 运算 \(*\) 是可消去的。
若 \(S\) 中所有的元素都满足消去律，则可说明 \(*\) 满足消去律。
\(a * x = a * y \ \Rightarrow x = y\) 叫做永真蕴含式。箭头左边的式子叫做前件，右边的叫做后件。永真蕴含式表明，若前件成立，则后件一定成立。永真蕴含式的逆否形式也成立。
可消去性可以从运算表中观察到。若 \(*\) 满足消去律，则运算表中每一行每一列中都没有相同的元素。
6.1.2 代数常元
该代数系统中与运算相关的特殊元素称作代数常元。
幺元
设 \(*\) 是定义在 \(S\) 上的二元运算，若存在元素 \(e_l\) (或 \(e_r\)) 使得 \(\forall x \in A\) 都有：
则称 \(e_l\) (或 \(e_r\)) 是 \(S\) 中关于 \(*\) 运算的左（右）幺元。
若 \(e\) 既是左幺元又是右幺元，则称 \(e\) 是 \(S\) 中关于 \(*\) 运算的幺元。且 \(e\) 是 \(S\) 上关于 \(*\) 的唯一的幺元。
零元
设 \(*\) 是定义在 \(S\) 上的二元运算，若存在元素 \(\theta_l\) (或 \(\theta_r\)) 使得 \(\forall x \in A\) 都有：
则称 \(\theta_l\) (或 \(\theta_r\)) 是 \(S\) 中关于 \(*\) 运算的左（右）零元。
若 \(\theta\) 既是左零元又是右零元，则称 \(\theta\) 是 \(S\) 中关于 \(*\) 运算的零元。且 \(\theta\) 是 \(S\) 上关于 \(*\) 的唯一的零元。
逆元
设 \(*\) 是定义在 \(S\) 上的二元运算，\(e\) 是 \(S\) 中关于 \(*\) 运算的幺元。对于 \(x \in S\), 如果存在 \(y_l \in S\) （或 \(y_r \in S\)）使得：
则称 \(y_l\) (或 \(y_r\)) 是 \(x\) 的左（右）逆元。
若 \(y \in S\) 既是左逆元又是右逆元，则称 \(y\) 是 \(x\) 的逆元。
若 \(*\) 运算是可结合的，且对于 \(x \in S\) 存在 \(y_l, y_r\) ，则 \(y\) 是 \(x\) 的唯一的逆元, \(y = y_l = y_r\)。