2021级数院普通班实变函数期末试题，仅供学习参考, 请勿用作其他用途.
实变函数
一、（25'）
- 设是\(E_{k}\)是\([0,1]\)中的可测集列,且\(\sum\limits_{k=1}^{n}mE_{k}>n-1\)，证明\(m(\bigcap\limits_{k=1}^{n}E_{k})>0\)
- 设f在R上满足Lipschitz条件，E为R中的可测集，证明\(f(E)\)可测.
- 设\(mE<\infty\), f为E上的可测函数, 记\(\phi (t)=mE[f>t]\), 证明\(\phi (t)\)右连续, 且几乎处处左连续.
二、（20'）
- 叙述Egorov定理.
- 设是\(f_{n}\)是E上的可测函数列，若对于任意的\(\epsilon >0\),都有
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty}mE[f_{n}>\epsilon]<\infty
\nonumber
\end{eqnarray}
证明\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_{n}=0\) $ a.e.$ 再问反之是否成立？
三、（15'）
- 叙述\([a,b]\)上绝对连续的定义.
- 证明\(f\)在\([a,b]\)上满足Lipschitz条件的充要条件为\(f\)绝对连续且导函数有界.
四、（10'）
设\(f_{n}\)是E上的一列非负可积的函数，且\(f_{n}\Rightarrow f\), \(\displaystyle\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\int_{E}f_{n}dx=0\), 证明\(f=0\) \(a.e.\)
五、(15')
- 设f在$E \times[c, d] $ 上可积，且对任意的y，f关于x连续，令\(\phi (y)=\int_{E}f(x,y)dx\), 问\(\phi\)在$[c, d] $上是否连续？
- 设 $ f(x, y) $ 是 $E \times[c, d] $ 上的连续函数, 且对任意 \(x \in E\) , \(f(x, y)\) 关于 y 可微, 且 $ \left|f_{y}^{\prime}(x, y)\right| \le F(x) $ ,其中 F 是 $ E $ 上的 Lebesgue 可积函数. 证明:
\[\frac{d}{dy} \int_{E} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{E} f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x
\]
六、（15'）
- f可积，证明
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\int_{R}f(x)\cos(n\pi x)dx=0
\]
- 设\(mE<\infty\), \(f\)是\(E\)上的本性有界可测函数，证明
\[\lim_{p \rightarrow \infty}\left(\int_{E}f(x)^{p} dx\right) ^{\frac{1}{p}}=\left \| f \right \| _{\infty}
\]