证明反对称矩阵的秩是偶数-526互联

对反对称矩阵消元，如果有非零元素，不妨假设 \(a_{1,2}\neq 0\)。

定义对 \((i,j,k)\) 使用操作1 表示，第 \(i\) 行 \(\times k\) 加到第 \(j\) 行然后第 \(i\) 列 \(\times k\) 后加到第 \(j\) 列。

注意到操作完仍是反对称矩阵。可以使用操作1 把所有第一行第二行，第一列第二列除了 \(a_{1,2}\) 和 \(a_{2,1}\) 消成 \(0\)。然后递归进入右下 \((n-2)\times (n-2)\) 的矩阵。每次秩减小 \(2\)，减若干次秩变为 \(0\)，因此秩为偶数。