这道题源自23版李林880的矩阵章节，题目如下：
设矩阵 \(A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right]\)，则 \(A^n(n \geq 1)=?\)
个人解法如下：
先将矩阵 \(A\) 拆分成一个秩为 1 的矩阵和数量矩阵之和，即：
\[A = \left[ \begin{matrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{matrix} \right] + 2 \left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{matrix} \right] = B + 2E
\]
秩为 1 的矩阵 \(B\) 有性质：\(B^k = [tr(B)]^{k-1} B = (-4)^{k-1} B\)，需要特别注意 \(k \geq 1\)
因此有：
\[\begin{aligned}
A^n &= (B+2E)^n \\
&= \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} (2E)^{n-k} B^{k} \\
（将k=0的项提出去）&= C_{n}^{0} (2E)^{n} B^{0} + \sum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} (2E)^{n-k} B^{k} \\
（运用秩一矩阵的性质）&= 2^{n}E + \sum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} 2^{n-k} (-4)^{k-1} B \\
&= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left[ \sum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} 2^{n-k} (-4)^{k} \right] \\
（凑二项式展开公式）&= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left[ \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} 2^{n-k} (-4)^{k} - C_{n}^{0} 2^{n} (-4)^{0} \right] \\
（逆用二项式展开公式）&= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left[ (2-4)^{n} - 2^{n} \right] \\
&= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left[ (-2)^{n} - 2^{n} \right] \\
&= 2^{n}E + \frac{2^{n} - (-2)^{n}}{4} B \\
\end{aligned}
\]
李林880给出的解法是找规律，参考答案为：
\[A^n=
\begin{cases}
4^{k-1} A, & n=2k-1 \\
4^{k} E, & n=2k \\
\end{cases}
(k=1,2,...)
\]
可以证明，个人答案与参考答案是一致的。
（1）当 \(n\) 是奇数，则：
\[\begin{aligned}
A^n &= 2^{n}E + \frac{2^{n} - (-2)^{n}}{4} B \\
&= 2^{n}E + \frac{2^{n} + 2^{n}}{4} B \\
&= 2^{n}E + 2^{n-1} B \\
&= 2^{n-1} (2E+B) \\
&= 2^{n-1} A \\
（令n=2k-1）&= 2^{2(k-1)} A \\
&= 4^{k-1} A \\
\end{aligned}
\]
（2）当 \(n\) 是偶数，则：
\[\begin{aligned}
A^n &= 2^{n}E + \frac{2^{n} - (-2)^{n}}{4} B \\
&= 2^{n}E + \frac{2^{n} - 2^{n}}{4} B \\
&= 2^{n}E \\
（令n=2k）&= 2^{2k} E \\
&= 4^{k} E \\
\end{aligned}
\]