二分类

注：当实现一个神经网络的时候，通常不直接使用for循环来遍历整个训练集（编程tips）

举例逻辑回归

逻辑回归是一个用于二分类(binary classification)的算法。首先从一个问题开始说起，这里有一个二分类问题的例子，假如有一张图片作为输入，比如这只猫，如果识别这张图片为猫，则输出标签1作为结果；如果识别出不是猫，那么输出标签0作为结果。现在可以用字母\(y\)来表示输出的结果标签，如下图所示：

来看看一张图片在计算机中是如何表示的，为了保存一张图片，需要保存三个矩阵，它们分别对应图片中的红、绿、蓝三种颜色通道，如果的图片大小为64x64像素，那么就有三个规模为64x64的矩阵，分别对应图片中红、绿、蓝三种像素的强度值。为了便于表示，这里我画了三个很小的矩阵，注意它们的规模为5x4 而不是64x64，如下图所示：

为了把这些像素值放到一个特征向量中，需要把这些像素值提取出来，然后放入一个特征向量\(x\)。为了把这些像素值转换为特征向量\(x\)，需要像下面这样定义一个特征向量\(x\)来表示这张图片，把所有的像素都取出来，例如255、231等等，直到取完所有的红色像素，接着最后是255、134、…、255、134等等，直到得到一个特征向量，把图片中所有的红、绿、蓝像素值都列出来。如果图片的大小为64x64像素，那么向量\(x\)的总维度，将是64乘以64乘以3，这是三个像素矩阵中像素的总量。在这个例子中结果为12,288。现在用\(n_x = 12,288\)，来表示输入特征向量的维度，有时候为了简洁，我会直接用小写的\(n\)来表示输入特征向量\(x\)的维度。所以在二分类问题中，的目标就是习得一个分类器，它以图片的特征向量作为输入，然后预测输出结果\(y\)为1还是0，也就是预测图片中是否有猫:

接下来说明一些需要用到的一些符号：

\(x\)：表示一个\(n_x\)维数据，为输入数据，维度为\((n_x,1)\)；
\(y\)：表示输出结果，取值为\((0,1)\)；
\((x^{(i)},y^{(i)})\)：表示第\(i\)组数据，可能是训练数据，也可能是测试数据，此处默认为训练数据；
\(X=[x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}]\)：表示所有的训练数据集的输入值，放在一个 \(n_x×m\)的矩阵中，其中\(m\)表示样本数目;
\(Y=[y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}]\)：对应表示所有训练数据集的输出值，维度为\(1×m\)。

用一对\((x,y)\)来表示一个单独的样本，\(x\)代表\(n_x\)维的特征向量，\(y\) 表示标签(输出结果)只能为0或1。
而训练集将由\(m\)个训练样本组成，其中\((x^{(1)},y^{(1)})\)表示第一个样本的输入和输出，\((x^{(2)},y^{(2)})\)表示第二个样本的输入和输出，直到最后一个样本\((x^{(m)},y^{(m)})\)，然后所有的这些一起表示整个训练集。有时候为了强调这是训练样本的个数，会写作\(M_{train}\)，当涉及到测试集的时候，会使用\(M_{test}\)来表示测试集的样本数，所以这是测试集的样本数：

最后为了能把训练集表示得更紧凑一点，会定义一个矩阵用大写\(X\)的表示，它由输入向量\(x^{(1)}\)、\(x^{(2)}\)等组成，如下图放在矩阵的列中，所以现在把\(x^{(1)}\)作为第一列放在矩阵中，\(x^{(2)}\)作为第二列，\(x^{(m)}\)放到第\(m\)列，然后就得到了训练集矩阵\(X\)。所以这个矩阵有\(m\)列，\(m\)是训练集的样本数量，然后这个矩阵的高度记为\(n_x\)，注意有时候可能因为其他某些原因，矩阵\(X\)会由训练样本按照行堆叠起来而不是列，如下图所示：\(x^{(1)}\)的转置直到\(x^{(m)}\)的转置，但是在实现神经网络的时候，使用左边的这种形式，会让整个实现的过程变得更加简单：

现在来简单温习一下:\(X\)是一个规模为\(n_x\)乘以\(m\)的矩阵，当用Python实现的时候，会看到X.shape，这是一条Python命令，用于显示矩阵的规模，即X.shape等于\((n_x,m)\)，\(X\)是一个规模为\(n_x\)乘以\(m\)的矩阵。所以综上所述，这就是如何将训练样本（输入向量\(X\)的集合）表示为一个矩阵。

那么输出标签\(y\)呢？同样的道理，为了能更加容易地实现一个神经网络，将标签\(y\)放在列中将会使得后续计算非常方便，所以定义大写的\(Y\)等于\({{y}^{\left( 1 \right)}},{{y}^{\left( m \right)}},...,{{y}^{\left( m \right)}}\)，所以在这里是一个规模为1乘以\(m\)的矩阵，同样地使用Python将表示为Y.shape等于\((1,m)\)，表示这是一个规模为1乘以\(m\)的矩阵。