说明
学习数字信号处理算法时整理的学习笔记。同系列文章目录可见 《DSP 学习之路》目录，代码已上传到 Github - ModulationAndDemodulation。本篇介绍 VSB 残留边带调幅信号的调制与解调，内附全套 MATLAB 代码。
1. VSB 调制算法
1.1 算法描述
残留边带调制（VSB, Vestigial Side Band）是介于 SSB 与 DSB 之间的一种折中方式，它既克服了 DSB 信号占用频带宽的缺点，又解决了 SSB 信号实现中的困难（无法在工程上实现理想滤波器以及精准相移）。在这种调制方式中，不像 SSB 中那样完全抑制 DSB 信号的一个边带，而是逐渐切割，使其残留一小部分。VSB 信号的带宽略大于基带信号（调制信号）带宽 \(f_H\)，但小于 DSB 信号的带宽，即 \({f_H}<{B_{VSB}}<2{f_H}\)。
用滤波法产生 VSB 信号的方法与 SSB 信号大致相同，都是先产生一个双边带 DSB 信号，然后让其通过一个残留边带滤波器（这个滤波器在 \(\pm{\omega_c}\) 处必须具有互补对称性），即可得到单边带 SSB 信号。
为了保证相干解调时无失真地从残留边带信号中恢复所需的调制信号，残留边带滤波器的频谱必须满足：
式中，\(\omega_H\) 为调制信号的截止角频率，这个条件的几何含义是：残留边带滤波器 \(H(\omega)\) 在 \(\pm{\omega_c}\) 处必须具有互补对称（奇对称）特性，即滤波器有过渡带，其中一个边带损失的恰好能够被另外一个边带残留的部分补偿。满足式 \((1)\) 的残留边带滤波器 \(H(\omega)\) 有以下两种形式，并且注意，每一种形式的滚降特性曲线并不是唯一的，下图 \((a)\) 是残留小部分上边带的滤波器特性，下图 \((b)\) 是残留小部分下边带的滤波器特性。
1.2 滤波法 VSB 信号调制示例
调制信号 \(m(t)\) 可以是确知信号，也可以是随机信号。当 \(m(t)\) 是确知信号时，不妨假设 \(m(t)\) 的时域表达式如下：
各调制参数取值：\(f_m=2500Hz\)，\(f_c=20000Hz\)。信号采样率 \(f_s=8{f_c}\)，仿真总时长为 \(2s\)。假设残留滤波器的滚降特性曲线为直线，VSB 残留下边带调制效果如下图所示（为了美观，时域只显示前 500 个点），调制信号 \(m(t)\) 双边幅度谱有四根离散谱线（\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)），高频载波 \(c(t)\) 双边幅度谱有两根离散谱线（\({\pm}20000Hz\)），VSB 残留下边带信号有六根离散谱线（\(\pm18750Hz\)、\(\pm21250Hz\)、\(\pm22500Hz\)）。
VSB 残留上边带调制效果如下图所示（为了美观，时域只显示前 500 个点），调制信号 \(m(t)\) 双边幅度谱有四根离散谱线（\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)），高频载波 \(c(t)\) 双边幅度谱有两根离散谱线（\({\pm}20000Hz\)），VSB 残留上边带信号有六根离散谱线（\(\pm17500Hz\)、\(\pm18750Hz\)、\(\pm21250Hz\)）。
代码详见 mod_lvsb.m、mod_uvsb.m、main_modVSB_example.m。
2. VSB 解调算法
解调是调制的逆过程，其作用是从接收的已调信号中恢复原基带信号（即调制信号）。VSB 信号的包络不再与调制信号 \(m(t)\) 的变化规律一致，因而不能采用简单的包络检波来恢复调制信号，通常采用相干解调的方法来进行解调。另一种方法是，插入很强的载波，使其成为或近似为 AM 信号，则可利用包络检波器恢复调制信号，这种方法被称为插入载波包络检波法，为了保证检波质量，插入的载波振幅应远大于信号的振幅，同时也要求插入的载波与调制载波同频同相。下面介绍两种解调方法并对 1.2 节中的 VSB 信号进行解调。
2.1 插入载波包络检波法
插入幅值为 \(A_0\) 的载波，得到一个近似的 AM 信号，使用 AM 解调器进行解调即可，步骤如下：
- 第一步：加上载波 \({A_0}cos{\omega_ct}\)，其中 \(A_0 \geq {\lvert}{s_{VSB}(t)}{\rvert}_{max}\)，获得 AM 信号。
- 第二步：使用 AM 解调器进行解调。
对 1.2 节中的 VSB 残留下边带信号，设定信噪比 \(SNR=50dB\)，解调效果如下，解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx2.12\)，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.1769\)。
对 1.2 节中的 VSB 残留上边带信号，设定信噪比 \(SNR=50dB\)，解调效果如下，解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx2.12\)，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.1768\)，与 VSB 残留下边带信号相同。
代码详见 demod_vsb_method1.m 和 main_demodVSB_example1.m。AM 解调器详见本人同系列博客 【调制解调】AM 调幅。更改插入载波的初始相位为 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\)，或者更改插入载波的中心频率为 \(0.8f_c,1.2f_c\) 后，解调效果变差，说明这种方法对插入载波同频同相的要求较高。
2.2 相干解调（同步检测）
将 VSB 信号与同频同相的相干载波相乘，然后通过一个低通滤波器即可获得解调结果，步骤如下：
- 第一步：乘以相干载波（即乘以 \(4cos({\omega_ct}+{\phi_0})\)，前面的 4 被用来做幅度补偿。
- 第二步：低通滤波器滤除高频载波，滤除 \(2{\omega}_c\)。
对 1.2 节中的 VSB 残留下边带信号，设定信噪比 \(SNR=50dB\)，解调效果如下，计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0021\)。
对 1.2 节中的 VSB 残留上边带信号，设定信噪比 \(SNR=50dB\)，解调效果如下，计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0021\)，与 VSB 残留下边带信号相同。
代码详见 demod_vsb_method2.m 和 main_demodVSB_example2.m。更改相干载波的初始相位为 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\)，或者更改相干载波的中心频率为 \(0.8f_c,1.2f_c\) 后，解调效果变差，说明这种方法对相干载波同频同相的要求也较高。
参考资料
[1] 楼才义,徐建良,杨小牛.软件无线电原理与应用[M].电子工业出版社,2014.
[2] 樊昌信,曹丽娜.通信原理.第7版[M].国防工业出版社,2012.
[3] 人人文库 - 残留边带 VSB 的调制与解调实用教案。
[4] 百度文库 - 残留边带的调制与解调PPT。
附录代码
附.1 文件 lpf_filter.m
function sig_lpf = lpf_filter(sig_data, cutfre)
% LPF_FILTER 自定义理想低通滤波器
% 输入参数：
% sig_data 待滤波数据
% cutfre 截止频率，范围 (0,1)
% 输出参数：
% sig_lpf 低通滤波结果
% @author 木三百川
nfft = length(sig_data);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
sig_fft_lpf = fftshift(fft(sig_data));
sig_fft_lpf([1:lidx,ridx:nfft]) = 0;
sig_lpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_lpf)));
end
附.2 文件 vsblpf_filter.m
function sig_lpf = vsblpf_filter(sig_data, cutfre, cutband)
% VSBLPF_FILTER 自定义残留边带低通滤波器(滚降特性曲线为直线)
% 输入参数：
% sig_data 待滤波数据
% cutfre 截止频率，范围 (0,1)
% cutband 残留宽度，范围 (0,2*cutfre)
% 输出参数：
% sig_lpf 低通滤波结果
% @author 木三百川
% 低通滤波器
nfft = length(sig_data);
widx = round(nfft*cutband/4);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
vsblpf = zeros(size(sig_data));
vsblpf(lidx-widx:lidx+widx) = linspace(0,1,2*widx+1);
vsblpf(lidx+widx:ridx-widx) = 1;
vsblpf(ridx-widx:ridx+widx) = linspace(1,0,2*widx+1);
% 滤波
sig_fft_lpf = fftshift(fft(sig_data)).*vsblpf;
sig_lpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_lpf)));
end
附.3 文件 vsbhpf_filter.m
function sig_hpf = vsbhpf_filter(sig_data, cutfre, cutband)
% VSBHPF_FILTER 自定义残留边带高通滤波器(滚降特性曲线为直线)
% 输入参数：
% sig_data 待滤波数据
% cutfre 截止频率，范围 (0,1)
% cutband 残留宽度，范围 (0,2*cutfre)
% 输出参数：
% sig_hpf 高通滤波结果
% @author 木三百川
% 高通滤波器
nfft = length(sig_data);
widx = round(nfft*cutband/4);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
vsbhpf = ones(size(sig_data));
vsbhpf(lidx-widx:lidx+widx) = linspace(1,0,2*widx+1);
vsbhpf(lidx+widx:ridx-widx) = 0;
vsbhpf(ridx-widx:ridx+widx) = linspace(0,1,2*widx+1);
% 滤波
sig_fft_hpf = fftshift(fft(sig_data)).*vsbhpf;
sig_hpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_hpf)));
end
附.4 文件 mod_lvsb.m
function [ sig_lvsb ] = mod_lvsb(fc, fs, mt, t)
% MOD_LVSB VSB 残留边带调幅（滤波法，残留小部分下边带）
% 输入参数：
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% mt 调制信号
% t 采样时间
% 输出参数：
% sig_lvsb VSB 残留下边带调幅实信号
% @author 木三百川
% 生成DSB信号
ct = cos(2*pi*fc*t);
sig_dsb = mt.*ct; % DSB 双边带调幅信号
% 滤波
sig_lvsb = vsbhpf_filter(sig_dsb, fc/(fs/2), 0.2*fc/(fs/2));
% 绘图
nfft = length(sig_lvsb);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_lvsb));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)双边幅度谱');
subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), ct(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('载波c(t)');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(ct,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('载波c(t)双边幅度谱');
subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_lvsb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('VSB残留下边带调幅信号s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_lvsb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('VSB残留下边带调幅信号s(t)双边幅度谱');
end
附.5 文件 mod_uvsb.m
function [ sig_uvsb ] = mod_uvsb(fc, fs, mt, t)
% MOD_UVSB VSB 残留边带调幅（滤波法，残留小部分上边带）
% 输入参数：
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% mt 调制信号
% t 采样时间
% 输出参数：
% sig_uvsb VSB 残留上边带调幅实信号
% @author 木三百川
% 生成DSB信号
ct = cos(2*pi*fc*t);
sig_dsb = mt.*ct; % DSB 双边带调幅信号
% 滤波
sig_uvsb = vsblpf_filter(sig_dsb, fc/(fs/2), 0.2*fc/(fs/2));
% 绘图
nfft = length(sig_uvsb);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_uvsb));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)双边幅度谱');
subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), ct(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('载波c(t)');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(ct,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('载波c(t)双边幅度谱');
subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_uvsb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('VSB残留上边带调幅信号s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_uvsb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('VSB残留上边带调幅信号s(t)双边幅度谱');
end
附.6 文件 main_modVSB_example.m
clc;
clear;
close all;
% VSB 调制仿真(调制信号为确知信号)
% @author 木三百川
% 调制参数
fm = 2500; % 调制信号参数
fc = 20000; % 载波频率
fs = 8*fc; % 采样率
total_time = 2; % 仿真时长，单位：秒
% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;
% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);
% VSB 调制
[ sig_lvsb ] = mod_lvsb(fc, fs, mt, t); % 残留下边带
[ sig_uvsb ] = mod_uvsb(fc, fs, mt, t); % 残留上边带
附.7 文件 demod_vsb_method1.m
function [ sig_vsb_demod ] = demod_vsb_method1(sig_vsb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_VSB_METHOD1 VSB 插入载波包络检波法
% 输入参数：
% sig_vsb_receive VSB 接收信号，行向量
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% t 采样时间
% phi0 载波初始相位
% 输出参数：
% sig_vsb_demod 解调结果，与 sig_vsb_receive 等长
% @author 木三百川
% 第一步：插入载波
A0 = max(abs(sig_vsb_receive))/0.8;
sig_vsb2am = sig_vsb_receive + A0*cos(2*pi*fc*t+phi0);
% 第二步：使用 AM 解调器进行解调
[ sig_vsb_demod ] = demod_am_method4(sig_vsb2am, fs, t);
end
附.8 文件 demod_vsb_method2.m
function [ sig_vsb_demod ] = demod_vsb_method2(sig_vsb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_VSB_METHOD2 VSB 相干解调（同步检测）
% 输入参数：
% sig_vsb_receive VSB 接收信号，行向量
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% t 采样时间
% phi0 载波初始相位
% 输出参数：
% sig_vsb_demod 解调结果，与 sig_vsb_receive 等长
% @author 木三百川
% 第一步：乘以相干载波
sig_vsbct = 4*sig_vsb_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0);
% 第二步：低通滤波
sig_vsb_demod = lpf_filter(sig_vsbct, fc/(fs/2));
end
附.9 文件 main_demodVSB_example1.m
clc;
clear;
close all;
% VSB 解调仿真(调制信号为确知信号，插入载波包络检波法)
% @author 木三百川
% 调制参数
fm = 2500; % 调制信号参数
fc = 20000; % 载波频率
fs = 8*fc; % 采样率
total_time = 2; % 仿真时长，单位：秒
% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;
% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);
% VSB 调制
% [ sig_vsb_send ] = mod_lvsb(fc, fs, mt, t); % 残留下边带
[ sig_vsb_send ] = mod_uvsb(fc, fs, mt, t); % 残留上边带
% 加噪声
snr = 50; % 信噪比
sig_vsb_receive = awgn(sig_vsb_send, snr, 'measured');
% 插入载波包络检波法
phi0 = 0;
[ sig_vsb_demod ] = demod_vsb_method1(sig_vsb_receive, fc, fs, t, phi0);
% 绘图
nfft = length(sig_vsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_vsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_vsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('VSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_vsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('VSB接收信号双边幅度谱');
figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_vsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号');
coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_vsb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_vsb_demod)/norm(mt));
附.10 文件 main_demodVSB_example2.m
clc;
clear;
close all;
% VSB 解调仿真(调制信号为确知信号，相干解调（同步检测）)
% @author 木三百川
% 调制参数
fm = 2500; % 调制信号参数
fc = 20000; % 载波频率
fs = 8*fc; % 采样率
total_time = 2; % 仿真时长，单位：秒
% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;
% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);
% VSB 调制
[ sig_vsb_send ] = mod_lvsb(fc, fs, mt, t); % 残留下边带
% [ sig_vsb_send ] = mod_uvsb(fc, fs, mt, t); % 残留上边带
% 加噪声
snr = 50; % 信噪比
sig_vsb_receive = awgn(sig_vsb_send, snr, 'measured');
% 相干解调（同步检测）
phi0 = 0;
[ sig_vsb_demod ] = demod_vsb_method2(sig_vsb_receive, fc, fs, t, phi0);
% 绘图
nfft = length(sig_vsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_vsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_vsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('VSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_vsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('VSB接收信号双边幅度谱');
figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_vsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号');
coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_vsb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_vsb_demod)/norm(mt));