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函数极限计算工具

发布时间 2023-04-11 20:04:14作者: nanguahh

函数极限计算工具

之前提到，函数极限计算分三个步骤：化简、判断未定式、选方法。

化简

  • 提极限不为0的因式

  • 等价无穷小替换

    \(x\rightarrow0\)时，有如下等价无穷小（\(lim\frac{a(x)}{b(x)}=1\)）：

    • \(sinx\sim x,tanx \sim x,arcsinx\sim x,arctanx \sim x\)
    • \(1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2\)
    • \(e^x-1\sim x,a^x-1\sim xlna\)
    • \(ln(1+x)\sim x\)（扩展：当\(x\rightarrow1\)时，\(ln(x)\sim x-1\)）
    • \((1+x)^a-1\sim ax\)

  • 恒等变形

    • 基本恒等变形：提公因式、拆项、合并、分子分母同除最高次幂
      1. 见到根号差，就有理化
    • 高级恒等变形：换元
      • 倒代换
      • 三角代换

补充三角函数基本知识：

  • 基本关系

    \(csca=\frac{1}{sina},seca=\frac{1}{cosa},cota=\frac{1}{tana}\)

    \(tana=\frac{sina}{cosa},cota=\frac{cosa}{sina}\)

    \(sin^2a+cos^2a=1,1+tan^2a=sec^2a,1+cot^2a=csc^2a\)

  • 基本公式

    倍角公式

    \(sin2a=2sinacosa\)

    \(cos2a=1-2sin^2a=2cos^2a-1\)

    \(tan2a=\frac{2tana}{1-tan^2a}\)

    半角公式

    \(sin^2\frac{a}{2}=\frac{1}{2}(1-cosa),cos^2\frac{a}{2}=\frac{1}{2}(1+cosa)\)

    \(sin\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cosa}{2}}\)

    \(cos\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+cosa}{2}}\)

选方法

  • 泰勒公式\(x\rightarrow0\)
    • \(sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\)
    • \(arcsinx=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\)
    • \(tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)
    • \(arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)
    • \(cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{4!}+o(x^4)\)
    • \(ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)
    • \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\)
    • \((1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+o(x^2)\)