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AtCoder Regular Contest 167 C MST on Line++

发布时间 2023-12-29 22:45:44作者: zltzlt

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我是傻逼。很平凡的一个计数。但是不会啊。怎么会是呢。

考虑 Kruskal 求解 MST on Line 问题。我们可以想到统计边权 \(= a_i\) 的出现次数。

然后又可以容斥转化成统计边权 \(\le a_i\) 的出现次数，设其为 \(f_i\)。

考虑求 \(f_i\)。就相当于把 \(p\) 的 \(\le i\) 的位置集合 \(q\) 拿出来，求 \(\sum\limits_{j = 2}^i [q_j - q_{j - 1} \ge k]\)。

枚举 \(q_j - q_{j - 1} = t\)，有方案数 \(\binom{n - t}{i - 1}\)，并且不难发现每个 \(j\) 相互独立且方案数相等。

所以：

\[f_i = i! (n - i)! (i - 1) \sum\limits_{j = 1}^i \binom{n - j}{i - 1} \]

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

code 
// Problem: C - MST on Line++
// Contest: AtCoder - AtCoder Regular Contest 167
// URL: https://atcoder.jp/contests/arc167/tasks/arc167_c
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mkp make_pair
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 5010;
const ll mod = 998244353;

inline ll qpow(ll b, ll p) {
	ll res = 1;
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * b % mod;
		}
		b = b * b % mod;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

ll n, m, a[maxn], f[maxn], fac[maxn], ifac[maxn];

inline ll C(ll n, ll m) {
	if (n < m || n < 0 || m < 0) {
		return 0;
	} else {
		return fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
	}
}

void solve() {
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lld", &a[i]);
	}
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	}
	ifac[n] = qpow(fac[n], mod - 2);
	for (int i = n - 1; ~i; --i) {
		ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;
	}
	sort(a + 1, a + n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			f[i] = (f[i] + C(n - j, i - 1)) % mod;
		}
		f[i] = f[i] * fac[i] % mod * fac[n - i] % mod * (i - 1) % mod;
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		ans = (ans + a[i] * (f[i] + mod - f[i - 1])) % mod;
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}