一、逻辑回归概述
分类计数是机器学习和数据挖掘应用中的重要组成部分。在数据科学中，大约70%的问题属于分类问题。解决分类问题也有很多种，比如：k-近邻算法，使用距离计算来实现分类；决策树，通过构建直观易懂的树来实现分类；朴素贝叶斯，使用概率论构建分类器。这里要讲的是Logistic回归，它是一种很常见的用来解决二元分类问题的回归方法，它主要是通过寻找最优参数来正确地分类原始数据。
1. Logistic Regression
逻辑回归（Logistic Regression，简称LR），其实是一个很有误导性的概念，虽然它的名字中带有“回归”两个字，但是它最擅长处理的却是分类问题。LR分类器适用于各项广义上的分类任务，录入：评论信息的正负情感分析（二分类）、用户点击率（二分类）、用户违约信息预测（二分类）、垃圾邮件检测（二分类）、疾病预测（二分类）、用户等级分类（多分类）等场景。这里主要讨论的是 二分类问题。
1.1 线性回归
提到逻辑回归我们不得不提一下线性回归，逻辑回归和线性回归属于广义线性模型，逻辑回归就是用线性回归模型的预测值去拟合真实标签的对数几率（一个事件的几率（odds）是指该事件发生的概率与不发生的概率之比，如果该事件发生的概率为P，那么该事件的几率是P/(1-P），对数几率就是log(P/(1-P))。
逻辑回归和线性回归本质上都是得到一条直线，不同的是，线性回归的直线是尽可能去拟合输入变量X的分析，使得训练集中所有样本点到直线的距离最短；而逻辑回归的直线是尽可能去拟合决策边界，使得训练集样本中的样本点尽可能分离开。因此，两者的目的是不同的。
线性回归方程： y = wx + b
此处，y是因变量，x为自变量。在机器学习中y是标签，x是特征。
1.2 Sigmoid函数
我们想要的函数应该是：能接受所有的输入然后预测出类别。例如在二分类的情况下，函数能输出0或1.那拥有这类性质的函数称为海维赛德阶跃函数（Heaviside stop function），又称之为单位阶跃函数。如图所示：
单位阶跃函数的问题在于：在0点位置该函数从0瞬间跳跃到1，这个孙坚跳跃过程很难处理（不好求导）。幸运的是，Sigmoid函数也有类似的性质，且数学上更容易处理。
下图给出了Sigmoid函数在不同坐标尺度下的两条曲线。当x为0时， Sigmoid函数值为0.5. 随着x的增大，对应的函数值将逼近于1；而随着x的减少，函数值逼近于0. 所以Sigoin函数值域为（0,1），注意这是开区间，它仅无限接近0和1.如果横坐标刻度足够大，Sigmoid函数看起来就很想一个阶跃函数。
1.3 逻辑回归
1.4 LR与线性回归的区别
逻辑回归和线性回归是两类模型，逻辑回归是分类模型，线性回归是回归模型。
2. LR的损失函数
损失函数，通俗讲，就是衡量真实值和预测值之间差距的函数。所以函数越小，模型就越好。在这里，最小损失是0。
LR损失函数为：
可以看一下这个函数的图像：
不过当损失过于小的时候，也就是模型能够拟合绝大部分的数据，这时候就容易出现过拟合。为了防止过拟合，我们会引入正则化。
3. LR正则化
3.1 L1 正则化
Lasso回归，相当于为模型添加了这样一个先验条件：w服从零均值拉普拉斯分析。
等价于原始的cross-entropy后面加上了L1正则，因此L1正则的本质其实是为模型增加了“模型参数服从零均值拉普拉斯分析”这一先验条件。
3.2 L2正则化
Ridge回归，相当于为模型添加了这样一个先验条件：w服从零均值正态分布。
等价于原始的cross-entropy后面加上了L2正则，因此L2正则的本质其实是为模型增加了“模型参数服从零均值正态分布”这一先验条件。
3.3 L1正则化和L2正则化的区别
1. 两者引入的关于模型参数的先验条件不一样，L1是拉普拉斯分布，L2是正态分布；
2. L1偏向于使模型参数变得稀疏（但实际上并不那么容易），L2 偏向于使模型每一个参数都很小，但是更加稠密，从而防止过拟合。
为什么L1偏向于稀疏，L2偏向于稠密呢？
看下面两张图，每一个圆表示loss的等高线，即在该圆上loss都是相同的，可以看到L1更容易在坐标轴上达到，而L2则容易在象限里达到。
4. RL损失函数求解
4.1 基于对数似然损失函数
4.2 基于极大似然估计
二、梯度下降法
由于极大似然函数无法直接求解，所以在机器学习算法中，在最下化损失函数时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最下化的损失函数和模型参数值。
1. 梯度
2. 梯度下降的直观解释
首先来看看梯度下降的一个直观的解释。比如我们在一座大山上的某处位置，由于我们不知道怎么喜下山，于是决定走一步算一步，也就是在没走到一个位置的时候，求解当前位置的梯度，沿着梯度的负方向，也就是当前做陡峭的位置向下走一步，然后继续求解当前位置的梯度，向这一步所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走一步。这样一步步的走下去，一直走到觉得我们已经到了山脚。当然这样走下去，有可能我们不能走到山脚，而是到了某一个局部的山峰低处。
从上面的解释可以看出，梯度下降不一定能够找到全局的最优解，有可能是一个局部最优解。当然，如果损失函数是凸函数，梯度下降法得到的解就一定是全局最优解。
3. 梯度下降的详细算法
梯度下降法的算法可以有代数法和矩阵法（简称向量法）两种表示，如果对矩阵分析不熟悉，则代数法更加容易理解。不过矩阵法更加的简洁，且由于使用了矩阵，实现路基更加的一目了然。
3.1 梯度下降法的代数方式描述
①. 先决条件：确认优化模型的假设函数和损失函数。
②. 算法相关参数初始化：主要是初始化θ0，θ1...，θn，短发终止距离ε以及步长α。在没有任何先验知识的时候，我们比较倾向于将所有的θ初始化为0，将步长初始化为1.在调优的时候再进行优化。
③. 算法过程：
3.2 梯度下降法的矩阵方法描述
这一部分主要讲解梯度下降法的矩阵方式表述，相对于上面的代数法，要求有一定的矩阵分析的基础知识，尤其是矩阵求导的知识。
①. 先决条件：需要确定优化模型的假设函数和损失函数。对于线性回归，假设函数hθ(x1, x2,... xn) = θ0 + θ1x1 + ... + θnxn的矩阵表达方式为：hθ(x) = Xθ
②. 算法相关参数初始化：θ向量可以初始化为默认值，或者调优后的值。算法终止距离ε，步长α和3.1比没有变化。
③. 算法过程：
4. 梯度下降的种类
4.1 批量梯度下降法BGD
4.2 随机梯度下降法SGD
4.3 小批量梯度下降法MBGD
5. 梯度下降的算法调优
三、使用梯度下降求解逻辑回归
testSet数据集中一共有100个点，每个点包含两个数值型特征：X1和X2。因此可以将数据在一个二维平面上展示出来。我们可以将第一列数据(X1)看作x轴上的值，第二列数据(X2)看作y轴上的值。而最后一列数据即为分类标签。根据标签的不同，对这些点进行分类。
在此数据集上，我们将通过批量梯度下降法和随机梯度下降法找到最佳回归系数。
1. 使用BGD求解逻辑回归
批量梯度下降法的伪代码：
每个回归系数初始化为1 重复下面步骤直至收敛： 计算整个数据集的梯度 使用alpha*gradient更新回归系数的向量 返回回归系数
1.1 导入数据集
import pandas as pd import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline dataSet = pd.read_table('testSet.txt',header = None) dataSet.columns =['X1','X2','labels'] dataSet
可视化
plt.figure() plt.scatter(dataSet[dataSet['labels']==0]['X1'],dataSet[dataSet['labels']==0] ['X2'],c='red') plt.scatter(dataSet[dataSet['labels']==1]['X1'],dataSet[dataSet['labels']==1] ['X2'],c='blue') plt.show()
1.2 定义辅助函数
Sigmoid函数
def sigmoid(inX): """ 函数功能：计算sigmoid函数值 参数说明： inX:数值型数据 返回： s:经过sigmoid函数计算后的函数值 """ s = 1/(1+np.exp(-inX)) return s
标准化函数
def regularize(xMat): """ 函数功能：标准化（期望为0，方差为1） 参数说明： xMat：特征矩阵 返回： inMat：标准化之后的特征矩阵 """ inMat = xMat.copy() inMeans = np.mean(inMat,axis = 0) inVar = np.std(inMat,axis = 0) inMat = (inMat - inMeans)/inVar return inMat
1.3 BGD算法python实现
def BGD_LR(dataSet,alpha=0.001,maxCycles=500): """ 函数功能：使用BGD求解逻辑回归 参数说明： dataSet：DF数据集 alpha：步长 maxCycles：最大迭代次数 返回： weights：各特征权重值 """ xMat = np.mat(dataSet.iloc[:,:-1].values) yMat = np.mat(dataSet.iloc[:,-1].values).T xMat = regularize(xMat) m,n = xMat.shape weights = np.zeros((n,1)) for i in range(maxCycles): grad = xMat.T*(xMat * weights-yMat)/m weights = weights -alpha*grad return weights
ws=BGD_LR(dataSet,alpha=0.01,maxCycles=500) xMat = np.mat(dataSet.iloc[:, :-1].values) yMat = np.mat(dataSet.iloc[:, -1].values).T xMat = regularize(xMat) (xMat * ws).A.flatten() p = sigmoid(xMat * ws).A.flatten() for i, j in enumerate(p): if j < 0.5: p[i] = 0 else: p[i] = 1 train_error = (np.fabs(yMat.A.flatten() - p)).sum() train_error_rate = train_error / yMat.shape[0] train_error_rate
1.4 准确率计算函数
将上述过程封装为函数，方便后续调用
def logisticAcc(dataSet, method, alpha=0.01, maxCycles=500): """ 函数功能：计算准确率 参数说明： dataSet：DF数据集 method：计算权重函数 alpha：步长 maxCycles：最大迭代次数 返回： trainAcc：模型预测准确率 """ weights = method(dataSet,alpha=alpha,maxCycles=maxCycles) p = sigmoid(xMat * ws).A.flatten() for i, j in enumerate(p): if j < 0.5: p[i] = 0 else: p[i] = 1 train_error = (np.fabs(yMat.A.flatten() - p)).sum() trainAcc = 1 - train_error / yMat.shape[0] return trainAcc
# 测试函数运行结果 logisticAcc(dataSet, BGD_LR, alpha=0.001, maxCycles=500)
2. 使用SGD求解逻辑回归
随机梯度下降法的伪代码：
每个回归系数初始化为1 对数据集中每个样本： 计算该样本的梯度 使用alpha*gradient更新回归系数值 返回回归系数值
2.1 SGD算法python实现
def SGD_LR(dataSet,alpha=0.001,maxCycles=500): """ 函数功能：使用SGD求解逻辑回归 参数说明： dataSet：DF数据集 alpha：步长 maxCycles：最大迭代次数 返回： weights：各特征权重值 """ dataSet = dataSet.sample(maxCycles, replace=True) dataSet.index = range(dataSet.shape[0]) xMat = np.mat(dataSet.iloc[:, :-1].values) yMat = np.mat(dataSet.iloc[:, -1].values).T xMat = regularize(xMat) m, n = xMat.shape weights = np.zeros((n,1)) for i in range(m): grad = xMat[i].T * (xMat[i] * weights - yMat[i]) weights = weights - alpha * grad return weights
四、从疝气病症预测病马的死亡率
将使用Logistic回归来预测患疝气病的马的存活问题。原始数据集下载地址:http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Horse+Colic
这里的数据包含了368个样本和28个特征。这种病不一定源自马的肠胃问题，其他问题也可能引发马疝病。该数据集中包含了医院检测 马疝病的一些指标，有的指标比较主观，有的指标难以测量，列如马的疼痛级别。另外需要说明的是，除了部分指标主观和难以测量外，该数据还存在一个问题，数据集中有30%的值是缺失的。下面将首先介绍如何处理数据集中的数据缺失问题，然后再利用Logistic回归和随机梯度上升算法来预测病马的生死。
1. 准备数据
数据中缺失值是一个非常棘手的问题，很多文献都致力于解决这个问题。那么，数据缺失究竟带来了什么问题？假设有100个样本和20个特征，这些数据都是机器收集回来的。若机器上的魔噩个传感器损坏导致一个特征无效时该怎么办？它们是否还可用》答案是肯定的。因为有时候数据相当昂贵，扔掉和重新获取都是不可取的，所以必须采用一些方法来解决这个问题。下面给出了一些可选的做法：
使用可用特征的均值来填补缺失值；
- 使用特殊值来填补缺失值，如-1；
- 忽略有缺失值的样本；
- 使用相似样本的均值填补缺失值；
- 使用另外的机器学习算法预测缺失值。
预处理数据做两件事：
- 如果测试集中一条数据的特征值已经缺失，那么我们选择实数0来替换所有缺失值，因为文本使用Logistic回归。因此这样做不会影响回归系数的值。sigmoid(0)=0.5，即它对结果的预测不具有任何倾向性。
- 如果测试集中一条数据的类别标签已经缺失，那么我们将类别数据丢弃，因为类别标签与特征不同，很难确定采用某个合适的值来替换。
原始的数据集经过处理，保存为两个文件：horseColicTest.txt和horseColicTraining.txt。
import pandas as pd
train = pd.read_table('horseColicTraining.txt',header=None) train.head() train.shape train.info() test = pd.read_table('horseColicTest.txt',header=None) test.head() test.shape test.info()
读取数据，并查看数据基本情况。
2. logistic回归分类函数
得到训练集和测试集之后，我们可以利用前面的BGD_LR和SGC_LR得到训练集的weights。
这里需要定义一个分类函数，根据sigmoid函数返回的值来确定y是0还是1。
def classify(inX,weights): """ 函数功能：给定测试数据和权重，返回标签类别 参数说明： inX：测试数据 weights：特征权重 """ p = sigmoid(sum(inX * weights)) if p < 0.5: return 0 else: return 1
3. 构建logistic模型
def get_acc(train,test,alpha=0.001, maxCycles=5000): """ 函数功能：logistic分类模型 参数说明： train：测试集 test：训练集 alpha：步长 maxCycles：最大迭代次数 返回： retest:预测好标签的测试集 """ weights = SGD_LR(train,alpha=alpha,maxCycles=maxCycles) xMat = np.mat(test.iloc[:, :-1].values) xMat = regularize(xMat) result = [] for inX in xMat: label = classify(inX,weights) result.append(label) retest=test.copy() retest['predict']=result acc = (retest.iloc[:,-1]==retest.iloc[:,-2]).mean() print(f'模型准确率为：{acc}') return retest
测试函数运行结果：
运行10次查看结果：
从结果看出，模型预测的准确率基本维持在74%左右，原因有两点：①数据集本身有缺失值，我们处理之后对结果也会有影响；②逻辑回归这个算法本身也有上限。
五、 sklearn实现葡萄牙银行机构营销案例
案例背景：葡萄牙银行机构希望通过使用数据挖掘进行银行直接销售。所有的数据按日期排序（2008/5~2010/11）存储在bank-full.csv文件中。
分类目标位预测客户是否购买产品（定期存款）
特征为银行客户信息：
1. 导入数据集
#导入数据集，这里需要注意分隔符为分号“;” bankSet = pd.read_csv('bank-full.csv',sep=';') bankSet.head() #数据探索 bankSet.shape bankSet.info() bankSet.isnull().sum()#查看缺失值
2. 特征预处理
特征预处理这一块内容可参考菜菜讲的sklearn中的数据预处理和特征工程：https://www.bilibili.com/video/av36467376
- preprocessing.OrdinalEncoder：特征专用，能够将分类特征转换为分类数值
- preprocessing.LabelEncoder：(允许输入一维数据)标签专用，能够将分类转换为分类数值
- preprocessing.KBinsDiscretizer：这是将连续型变量划分为分类变量的类，能够将连续型变量排序后按顺序分箱后编码
#将连续型变量分箱编码为分类变量 from sklearn.preprocessing import KBinsDiscretizer #将age/duration/day字段编码为三分类变量 est1 = KBinsDiscretizer(n_bins=3, encode='ordinal', strategy='kmeans') X1=bankSet.loc[:,['age','duration','day']] bankSet.loc[:,['age','duration','day']]=est1.fit_transform(X1)
#将balance/campaign/pdays/previous字段编码为二分类变量 est2 = KBinsDiscretizer(n_bins=2, encode='ordinal', strategy='kmeans') X2=bankSet.loc[:,['balance','campaign','pdays','previous']] bankSet.loc[:,['balance','campaign','pdays','previous']]=est2.fit_transform(X2)
#查看编码后效果 bankSet.head() bankSet['age'].value_counts() bankSet['balance'].value_counts()
#将分类特征转换为分类数值 from sklearn.preprocessing import OrdinalEncoder bankSet.iloc[:,:] = OrdinalEncoder().fit_transform(bankSet) bankSet.head()
3. 切分训练集和测试集
from sklearn.model_selection import train_test_split x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(bankSet.iloc[:,:-1],bankSet.iloc[:,-1],test_size=0.25,random_state=0)
4. 构建逻辑回归分类函数
from sklearn.linear_model import LogisticRegression #建模 classifier = LogisticRegression(random_state = 0) classifier.fit(x_train,y_train) #预测 y_pred = classifier.predict(x_test) #计算模型准确率 from sklearn.metrics import accuracy_score accuracy_score(y_test,y_pred)
六、 分类算法大比拼
1. 导入数据集
#导入数据 dataset = pd.read_csv('Social_Network_Ads.csv') dataset.head() #探索数据 dataset.shape dataset.info()
2. 数据预处理
#这里只需要处理性别这一个特征，所以用LabelEncoder，因为它允许输入一维数据 from sklearn.preprocessing import LabelEncoder dataset.loc[:,'Gender']=LabelEncoder().fit_transform(dataset.loc[:,'Gender'])
3. 切分训练集和测试集
#提取出特征矩阵和标签 x = dataset.iloc[:,1:-1].values y = dataset.iloc[:,-1].values #切分训练集和测试集 from sklearn.model_selection import train_test_split x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(x,y ,test_size=0.25 ,random_state=0) #查看训练集 x_train[:10] #数据标准化（StandardScaler作用：针对每一个特征维度去均值和方差归一化） from sklearn.preprocessing import StandardScaler sc = StandardScaler() x_train = sc.fit_transform(x_train) x_test = sc.fit_transform(x_test) #查看标准化后的训练集 x_train[:10]
4. 各分类算法建模
4.1 logistic回归
#建模及预测 from sklearn.linear_model import LogisticRegression logreg = LogisticRegression() logreg.fit(x_train, y_train) y_pred = logreg.predict(x_test) acc_log = round(logreg.score(x_train, y_train) * 100, 2) acc_log
4.2 KNN
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier knn = KNeighborsClassifier(n_neighbors = 3) knn.fit(x_train, y_train) y_pred = knn.predict(x_test) acc_knn = round(knn.score(x_train, y_train) * 100, 2) acc_knn
4.3 高斯朴素贝叶斯
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB gaussian = GaussianNB() gaussian.fit(x_train, y_train) y_pred = gaussian.predict(x_test) acc_gaussian = round(gaussian.score(x_train, y_train) * 100, 2) acc_gaussian
4.4 决策树
decision_tree = DecisionTreeClassifier() decision_tree.fit(x_train, y_train) y_pred = decision_tree.predict(x_test) acc_decision_tree = round(decision_tree.score(x_train, y_train) * 100, 2) acc_decision_tree
4.5 随机森林
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier random_forest = RandomForestClassifier(n_estimators=100) random_forest.fit(x_train, y_train) y_pred = random_forest.predict(x_test) random_forest.score(x_train, y_train) acc_random_forest = round(random_forest.score(x_train, y_train) * 100, 2) acc_random_forest
4.6 结果汇总
models = pd.DataFrame({ 'Model': ['Logistic Regression', 'KNN', 'Naive Bayes', 'Random Forest', 'Decision Tree'], 'Score': [ acc_log,acc_knn, acc_gaussian, acc_random_forest,acc_decision_tree]}) models.sort_values(by='Score', ascending=False)
依次为随机森林-决策树-k-近邻算法-高斯朴素贝叶斯-逻辑回归
七、 算法总结
1. logistic优点
1.1 形式简单，模型的可解释性非常好。从特征的权重可以看到不同的特征第最后结果的影响，某个特征的权重值比较高，那么这个特征最后对结果的影响会比较大。
1.2 逻辑回归的对率函数是任意阶可导函数，数学性质号，易于优化。
1.3 逻辑回归不仅可以预测类别，还可以得到近似的概率预测。
1.4 模型效果不错。在工程上是可以接受的（最为baseline），如果特征工程做到好，效果不会太差，并且特征工程可以大家并行开发，大大加快开发的速度。
1.5 训练速度较快。分类的时候，计算量进京只和特征的数目相关。并且逻辑回归的分布式游湖sgd发展比较成熟，训练的速度可以通过堆机器进一步提高，这样我们可以在短时间内迭代好几个版本的模型。
1.6 方便输出结果调用。逻辑回归可以很方便的得到最后的分类结果，因为输出的是每个样本的概率分数，我们可以很容易的对这些概率分数进行cutoff，也就是划分阈值（大于某个阈值的是一类，小于某个阈值的是一类）。
2. logistic缺点
2.1 准确率并不是很高。因为形式非常的简单（非常类似线性模型），很难去拟合数据的真实分布。
2.2 很难处理数据不平衡的问题。比如：如果我们对于一个正负样本非常不平衡的问题比如正负样本比较10000:1。我们把所有样本都预测为正也能是损失函数的值比较小。但是作为一个分类器，它对正负样本的区分能力不会很好。
2.3 处理非线性数据较麻烦。逻辑回归在不引入其他方法的情况下，只能处理线性可分的数据。
2.4 逻辑回归本身无法筛选特征。有时候，我们会用gbdt来筛选特征，然后再上逻辑回归。
3. LR与SVM的关系
3.1 相同
① 都是有监督分类方法，判别模型（直接估计y=f(x)或p(y|x)）
② 都是线性分类方法（指不用核函数的情况）
3.2 不同
① loss不同。LR是交叉熵，SVM是Hinge loss，最大话函数问题。
② LR决策考虑所有样本点，SVM决策仅仅取决于支持向量。
③ LR收数据分布影响，尤其是样本不均衡时影响大，要先做平衡，SVM不直接依赖于分布。
④ LR可以产生概率，SVM不能。
⑤ LR是经验风险最小化，需要另外加正则，SVM自带结构风险最小不需要加正则项。
⑥ LR每两个点之间都要做内积，而SVM只需要计算样本和支持向量的内积，计算量更小。
八、 案例分享