link：[HEOI2015] 小 Z 的房间
题意
你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含 \(n\times m\) 个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案，答案对 \(10^9\) 取模。
\(1 \le n,m \le 9\)。
矩阵树定理
设 \(G\) 为一张有 \(n\) 个节点的无向图， 定义度数矩阵 \(D(G)\) ，
\[D_{ii}(G) = deg(i), D_{ij}(G) = 0, i \ne j
\]
记\(\#e(i,j)\)定义为连接点 \(i,j\) 之间的边数（有重边但是无自环），定义邻接矩阵 \(A(G)\)
\[A_{ij}(G) = A_{ji}(G) = \#e(i,j), i \ne j
\]
定义 Laplace 矩阵 \(L(G)\)，
\[L(G) = D(G) - A(G)
\]
定义 \(t(G)\) 为图 \(G\) 的所有生成树的个数
那么对于 \(\forall i, t(G) = \det L^\prime(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_n\)， 其中 $L^\prime (G) $ 为 \(L(G)\) 去除第 \(i\) 行和第 \(i\) 列
对于有向图和有向欧拉图，也有类似的性质， 详情参见 OI wiki。
Solution
根据矩阵