强连通分量学习笔记
一.定义
在有向图G中,如果两个顶点u,v间有一条从u到v的有向路径,同时还有一条从ｖ到ｕ的有向路径,则称两个顶点强连通,如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图,有向非强连通图的极大强连通子图,称为强连通分量.
二.taojian算法 (时间复杂度为\(O(N+M)\))
四条边
- 树枝边:DFS时经过的边.
- 向前边:与DFS方向一致,从某个节点指向某个子孙的边.
- 后向边:与DFS方向相反,从某个结点指向其某个祖先的边.(返祖边)
- 横叉边:从某个结点指向搜索树中的另一子树中的某结点的边.
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。 定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，\(Low(u)\)为\(u\)或\(u\)的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。 由定义可以得出，Low(u)=Min {Low(u), Low(v) } (u,v)为树枝边，\(u\)为\(v\)的父节点 . Low(u)=Min {Low(u), DFN(v) }\(DFN(v),(u,v)\)为指向栈中节点的后向边(指向栈中结点的横叉边) } 当结点u搜索结束后，若D\(FN(u)=Low(u)\)时，则以u为根的搜索子树上所有还在栈中的节点是一个强连通分量。
算法过程:
从节点1开始\(DFS\)，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点\(u=6\)时，\(DFN[6]=LOW[6]\)，找到了一个强连通分量。退栈到\(u=v\)为止，\({6}\)为一个强连通分量。
初始化时\(Low_u=DFN_u=index+1\)
返回节点5，发现\(DFN_5=LOW_5\)，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以\(LOW_3=LOW_4=1\).
\(Low(u)=\min Low_u, DFN_v\)\(DFN(v),(u,v)\)为指向栈中节点的后向边
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现\(DFN[1]=LOW[1]\)，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
