拉格朗日对偶性是优化理论中的一个重要概念，尤其在机器学习和运筹学中经常遇到。在对偶性中，我们从一个优化问题（称为原问题）中衍生出另一个相关的优化问题（称为对偶问题）。这两个问题之间的关系提供了许多有用的性质和洞察力。

通俗地说，你可以把原问题和对偶问题想象成是两个视角或两个方法来看待同一个情境。

这里给一个比较直观的例子来帮助理解：

想象一个背包问题。你有一个背包，它能够承受有限的重量，而你有一些物品，每个都有不同的重量和价值。你的任务是确定如何选择物品放入背包，以便最大化背包中的总价值，同时不超过背包的重量限制。

原问题: 你直接思考：“我应该选择哪些物品放入背包，使得背包的价值最大化，同时不超过重量限制？”你会考虑每个物品，思考是否放入背包。

对偶问题: 现在换个思路。为背包的重量限制设定一个“价格”或“惩罚”（想象超过限制会有一定的罚款）。对于这个给定的“惩罚”，你再次思考如何选择物品以最大化你的总收益（物品的价值减去可能的罚款）。当你调整这个“惩罚”时，你会得到不同的最佳选择。

这个对偶问题实际上是在考虑：“如果我超过背包的限制，我愿意支付多少‘代价’？”对于不同的代价，你可能会选择不同的物品组合。

这种对偶的关系在优化问题中非常有用，因为有时原问题很难解决，而对偶问题可能更容易解决。或者，对偶问题可能提供了原问题解的有用信息。

 

 

 　　

 示例：

 

 

更多例子见：

拉格朗日和kkt公式的应用示例 无论求解最大还是最小值，u都是>=0哈！最大是+ 最小是- 至少知道kkt是什么了 至于为什么可以转换再说吧