三角函数

一、三角函数

1.1任意角

初中学的角度全都是从 0~360°，而高中最大的进步就是拓展了角度的范围，可以从负无穷到正无穷。

（1）任意角的定义：一条射线绕着端点在平面内旋转而成的图形，角的大小就是转过的角度，角的正负就是旋转的方向（逆时针为正）。

就像这个角是 \(\theta\) ，大家不要被迷惑，以为它看上去就是大约 20°，他也有可能是 380°（先逆时针转 360° 回到原位置，再逆时针转 20°），甚至有可能是 -340°（顺时针转一圈不到 20°），还有更多可能。

（2）任意角的正负：强调一下逆时针为正。

（3）任意角的象限：

其实就是把这条射线的初始位置放到 \(x\) 轴，并且把原点和射线的起点重合。因此每一个角都会落在某个象限或者某个坐标轴上。

此时的角就落在第一象限

1.2弧度制

弧度制的作用就是更方便地求弧长。除此之外它就打不过角度制了。

（1）定义：弧长和半径相等的圆心角就是 1 弧度的角。单位为 rad，读作弧度，这种用“弧度”来表示角度的方法叫做弧度制。

（2）弧长计算公式

\[l=\theta R\\ \]

能够更加方便地求出弧长，这就是弧度制最大的魅力。

（3）弧度制和角度制的转换：

\[2\pi=360° \Longrightarrow\pi=180° \Longrightarrow\frac{\pi}{2}=90° \Longrightarrow\frac{\pi}{4}=45°\Longrightarrow\frac{\pi}{3}=60°\Longrightarrow\frac{\pi}{6}=30° \]

1.3任意角的三角函数

（1）定义：设 \(\theta\) 是一个任意角，它的终边和单位圆的交点为 \(P(a,b)\) ，如图：

\[\sin{\theta}=b\\ \cos{\theta}=a\\ \tan{\theta}=\frac{b}{a}\\ \]

注：
①三个三角函数都有可能是负值，具体取决于 \(a\) 和 \(b\) 的正负。
②正弦和余弦的定义域是 \(R\) ，但是正切的定义域为 \(\{\theta|\theta\ne k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\}\)

1.4诱导公式

对于三角函数，根据它的定义，有下列诱导公式

第一组：

\[\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\\\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\\\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\\ \]

第二组：

\[\sin{(\pi-\theta)}=\sin{\theta}\\\cos{(\pi-\theta)}=-\cos{\theta}\\\tan{(\pi-\theta)}=-\tan{\theta}\\ \]

第三组：

\[\sin{(\frac{\pi}{2}\pm\theta)}=\cos{\theta}\\ \cos{(\frac{\pi}{2}\pm\theta)}=\mp\sin{\theta}\\ \tan{(\frac{\pi}{2}\pm\theta)}=\mp\cot{\theta}=\mp\frac{1}{\tan{\theta}}\\ \]

通过上面三组公式我们就可以把所有的角都化为一个锐角了，锐角处理起来还不是有手就行。大家需要牢记第三组公式，前面两组比较好背，所以第三组更重要。大家只要记得sin不变，cos符号相反，tan符号相反加倒数。

1.5三角函数的图像

我们可以画出三角函数的图像，例如

\(y=2\sin{(x+\frac{\pi}{3})}\\\) 图像为

在数学中，这是典型的五点法作图。

更多具体的图像我们留到振动和波动章节再细说。

二、三角恒等变换

2.1三角恒等变换的基本概念

三角恒等变换是数学的一类公式，用于三角等价变化。咳咳咳，最重要的其实还是在同学面前装13，接下去的内容2.2两角和差公式以及2.3辅助角公式需要牢牢掌握，2.4和差化积、积化和差以及2.5万能公式就可以记下来在同学面前装13了。

2.2两角和差公式

（1）三个两角和差公式

\[\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\\ \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\\ \]

这是最最最最重要的公式，一定要背下来。就像张无忌的九阳神功，没有九阳神功他也学不会乾坤大挪移。

（2）倍角公式

\[\sin{2\alpha}=2\sin\alpha\cos\alpha\\ \cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=2\cos^2{\alpha}-1=1-2\sin^2{\alpha}\\ \tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}\\ \]

【例题】求函数 \(f(\alpha)=\frac{1}{2}\cos{2\alpha}+\cos{\alpha}(x\in[0,2\pi])\) 的最小值。

【解析】

\[f(\alpha)=\frac{1}{2}\cos{2\alpha}+\cos{\alpha}\\ =\frac{1}{2}(2\cos^2{\alpha}-1)+\cos{\alpha}\\ =\cos^2{\alpha}+\cos{\alpha}-\frac{1}{2}\\ =(\cos{\alpha}+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}\\ \therefore f_{min}=-\frac{3}{4} \]

2.3辅助角公式（1）作用

辅助角公式常用来求极值。

（2）辅助角公式

\[a\sin{\alpha}+b\cos{\alpha}=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi)\\ \cos{\varphi}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sin{\varphi}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \tan{\varphi}=\frac{b}{a} \]

【例题】求函数 \(f(x)=(1+\sqrt3\tan{x})\cos{x}(x\in R)\) 的最大值。

【解析】

\[f(x)=\cos{x}+\sqrt3\sin{x}\\=2\sin{(x+\frac{\pi}{6})}\\ \therefore f_{max}=2 \]

2.4和差化积、积化和差（喝茶画鸡）

（1）和差化积公式

\[\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{{\alpha}+\beta}{2}}\cos{\frac{{\alpha}-\beta}{2}}\\ \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{\frac{{\alpha}+\beta}{2}}\sin{\frac{{\alpha}-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{{\alpha}+\beta}{2}}\cos{\frac{{\alpha}-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=-2\sin{\frac{{\alpha}+\beta}{2}}sin{\frac{{\alpha}-\beta}{2}}\\ \]

证明：

emm证明的话其实和差化积和积化和差可以互证（把和差化积的 \(\alpha\) 换为 \(\alpha+\beta\) ， \(\beta\) 换为 \(\alpha-\beta\) 就得到了积化和差），因此只证明积化和差。

（2）积化和差公式

\[\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha}+\beta)+\sin{(\alpha}-\beta)]\\ \cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha}+\beta)-\sin{(\alpha}-\beta)]\\ \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[cos{(\alpha}+\beta)+\cos{(\alpha}-\beta)]\\ \sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}[cos{(\alpha}+\beta)-\cos{(\alpha}-\beta)]\\ \]

【证明】（其实用两角和差公式展开就行了）

\[\frac{1}{2}[\sin{(\alpha}+\beta)+\sin{(\alpha}-\beta)]\\ =\frac{1}{2}[\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta]\\ =\frac{1}{2}[2\sin\alpha\cos\beta]\\ =\sin\alpha\cos\beta \]

后面的三个公式就不证明了，证明方法相同。需要知道的是，其实积化和差、和差化积公式都是从最基础的两角和差公式推演过来的，因此大家需要把握住两角和差公式。

【例题】若 \(\cos{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}=\frac{1}{3}\) ，求 \(\cos^2{\alpha}-\sin^2{\beta}\) 。

【解析】

根据积化和差公式的第三个公式

\[\cos{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}\\ =\frac{1}{2}(\cos{2\alpha}+\cos{2\beta})\\ =\frac{1}{2}(2\cos^2{\alpha}-1+1-2\sin^2{\beta})\\ =\cos^2{\alpha}-\sin^2{\beta}\\ =\frac{1}{3} \]

2.5万能公式

\[\sin{\alpha}=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}\\ \cos{\alpha}=\frac{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}\\ \tan{\alpha}=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}\\ \]

总而言之，背下来装13。