数列的极限-526互联

Def 1: 设$\{a_n\}$为一个数列(序列), $A$为一个常数, 假如$$ \forall
\epsilon > 0, \exists N > 0$$, 当$n_0 > N$时, 使得$|a_{n_0} - A| < \epsilon$, 我们则称A为$\{a_n\}$的(无穷处的)极限为$A$, 或$\{a_n\}$收敛于$A$, 假如不存在这样的A, 则称$\{a_n\}$发散.

注1: Notation:

\[\lim_{n\to\infty} {a_n} = A \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N > 0, 当n_0 > N时, |a_{n_0} - A| < \epsilon \]

例1: 证明 $\lim_{n\to\infty} {1 + \frac{(-1)^n}{n}} = 1 $

Proof: 假设有$|\frac{(-1)^{n_1}}{n_1}| = \frac{1}{n_1} < \epsilon$, 即$ n_1 > \frac{1}{\epsilon}$, 那我们取$N = [\frac{1}{\epsilon}] + 1$, , 从以上讨论, 那我们就有

\[\forall \epsilon > 0, \exists N > 0, 当n_0 > N时, |\frac{(-1)^{n_0}}{n_0}| < \epsilon \]

即等价于$\lim_{n\to\infty} {1 + \frac{(-1)^n}{n}} = 1$, 得证

注2: 一般这种证明题, 我们通过观察n需要的取值范围来构造N, 从而达到证明的效果

例2: 设$|q| < 1$, 证明$\lim_{n\to\infty} {q^n} = 0$

Proof: 假设有$|q^n| = |q|^n < \epsilon$, 即$ln{|q|^n} = nln{|q|}< ln{\epsilon}$, 因为$|q| < 1$, 所以即是$n > \frac{ln{\epsilon}}{ln{|q|}}$,
我们取$N = [\frac{ln{\epsilon}}{ln{|q|}}] + 1$, ..., 得证

注3: 这题分类讨论也可以, 但是有些指数函数问题不容易讨论, 取对数会简便的多