最后修改日期：2023/10/20
1. Laplace变换/逆变换
1.1. Laplace变换
\[\mathscr{L}[f(t)](s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t,\,s=\sigma+i\omega
\]
1.2. Laplace逆变换
\[\mathscr{L}^{-1}[F(s)](t)=\frac 1{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int^{\gamma+iT}_{\gamma+iT}e^{st}F(s)\mathrm{d}t
\]
1.3. 说明
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习惯上将时域函数用小写字母（例如\(f\)）表示，s域函数用对应的大写字母表示（例如\(F\)）；此外s域函数也有用上划线字母表示的（例如\(\,\bar{f}\,\)）。
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Laplace变换的表达式其实比较复杂，我不想关注其细节，需要记住的就是指数项是\(e^{-st}\)还是\(e^{st}\)。
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习惯上时域函数都是默认会乘上阶跃函数的（\(u(t)\)，Mathematica函数名为HeavisideTheta）。
2. Laplce性质及相关公式
2.1. 线性性质
不必赘述。
2.2. 相似性质
\[\mathscr{L}[f(at)]=\frac 1aF\left(\frac sa\right),\,a>0
\]
2.3. 微分性质
\[\mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)
\]
2.4. 积分性质
左侧是\(n\)重积分。
\[\mathscr{L}\left[ \int_0^t\mathrm{d}t\int_0^t\mathrm{d}t\cdots\int_0^tf(t)\mathrm{d}t\right]=\frac 1{s^n}F(s)
\]
2.5. 延时定理
\[\mathscr{L}[f(t-\tau)u(t-\tau)]=e^{-s\tau}F(s),\,\tau\in\mathbb{R}
\]
2.6. 位移定理
\[\mathscr{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a),\,a\in\mathbb{R}
\]
2.7. 卷积定理
卷积的定义：
\[f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)
\]
卷积定理：
\[\mathscr{L}[f(t)*g(t)]=F(s)\cdot G(s)
\]