ABC159F Knapsack for All Segments

发布时间 2023-10-16 09:00:24作者: FOX_konata

原题

翻译

\(O(n^3)\) 的朴素 \(dp\) 是 simple 的

考虑定义一个子序列是”好的子序列”当且仅当 \(a_l\)\(a_r\) 都在子序列中,容易发现他对答案的贡献是包含他的区间,即 \(l \times (n - r + 1)\)

先说我自己的做法:设 \(dp_{i,j}\) 表示强制\(i\) 结尾,子序列和为 \(j\) 的答案,注意这里要带上他的左端点系数,即 \(l\)

容易得到递推式:

\[\begin{cases} dp_{i,j} = \sum_{j<i} dp_{i,j-a_i} & (j > a_i) \\ dp_{i,j} = i & (j = a_i) \end{cases} \]

其中可以用前缀和优化转移,做到 \(O(n^2)\)

题解里做法大同小异,他们但去掉了强制的设定,变成了一个 01 背包问题然后求解,而对于钦定

最终复杂度 \(O(n^2)\)