这篇随笔将会简单实现一个基于物理的相对真实的大气渲染效果
如下图，太空中的星球、相对真实的天空盒
如果没有大气，太阳光没有直接照射到的地方将会是一片黑暗
而我们能从太空中看到星球表面泛起的蓝光，日出时的美丽景色，都得于太阳光在大气中的散射
地球的大气中充斥着诸如空气分子，小水滴，尘粒等微小分子
当太阳光遇到这些分子时，会改变辐射方向，我们将这种现象叫做散射
（通常辐射能不会转化为热能，而只是改变方向）
图1
在现实中，散射可能会发生无数次，介于性能，我们只实现一次散射就可以得到一个相对不错的效果
下面是单次散射的简单原理
我们首先思考一下太阳光如何通过大气进入我们的眼睛
假设我们所在的位置为 A点
现在给定一个观察方向，我们看向天空，视线与大气顶部相较于B点，而迎着我们视线方向的太阳光都会进入我们的眼睛
（实际上我们知道，我们的视野不是一条线，而是可以假定为一个视锥体，所以一副画面将会有许多条视线方向充斥着视锥体）
由于我们只计算单次散射，所以只需要计算刚好散射到我们视线方向的太阳光就可以了
图2
但其实！有一件事情
这看似只有一次散射，但散射实际上时时刻刻都在发生，太阳光每向前传播一点就会遇到大气粒子然后发生散射
也就是说光线在这条路径上不断发生着散射，而散射就会造成太阳光向其他方向分散，就可能不会进入我们的眼睛
而单次散射的实际意义是 只计算光的一次转向，两次之后转向的光我们统一按照衰减计算
所以固定方向光线的衰减就是类似的过程，光线在传播过程中不断地被散射，越来越弱
因此太阳光进入我们眼睛的整个流程是这样的
对于给定的视线方向，太阳光沿着固定方向 LightDir 入射，在 CP段 不断被散射衰减，然后与 AB段 形成无数个交点，我们将其成为Pi（i = 1，2....），在 P处 散射一部分光刚好迎着我们的视线方向进入我们的眼睛A点，PA段也不断被散射衰减
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为什么要首先给定视线方向，其实这是适应shader的编写，因为我们写shader都是对顶点和片元操作
而模型通常是空心的，我们不会直接取到球中的一个点，而是球最外层的一个点，也就是我们的B点
而我们也知道A点（摄像机坐标），所以直接计算视线方向上散射进摄像机的光
在这里我会简单说一下shader计算的具体思路，方便理解公式的推导
我们知道太阳光和 AB段 形成了无数个交点 Pi，在每个交点 Pi 上都有一部分光被散射进摄像机
介于性能，我们不会全部计算，而是将 AB段 均分成 N 份，也就是采样 N 次，计算每个采样点散射进摄像机的光
具体思路为，对于 球模型 的一个顶点，我们将其定为 B点，计算 AB段 的长度，除以采样数量 N，得到 步长step
我们还可以得到 向量AB，进而得到 方向向量AB，乘以 步长step 就可以得到一步前进的向量
从 摄像机A点 开始，循环 N 次，每次计算一个 采样点P，再加上步长step得到下一个采样点，累加得到一条视线方向最终的散射结果
然后 顶点 / 片元 着色器会遍历顶点输出最终的画面效果
下面是公式的简单推导（不涉及具体证明）
我们首先计算到达 P点 的光强，由于只计算在 P点 的一次转向所以 CP 段只计算光的衰减
设定 C点 的入射光强为 Ic，到达 P点 的光强为 Ip
图3
\(Ip=Ic\cdot T\left(CP\right)\)
T(CP) 为光线从 C点 到 P点 的衰减方程，我们又将其叫做 透射函数
到达 P点 后，设定到达 A点 的光强为 Ia
\(Ia=Ip\cdot S\left(CP,PA\right)\cdot T\left(PA\right)\)
T(PA) 和上面一样，是 PA段 的透射函数
S(CP, PA) 是沿 CP方向 传播的光向 PA 方向散射的散射函数
就是从 C点 到达 P点的光 又有多少刚好散射到 PA 方向
简单地代换一下我们就可以知道从 C点 到 A点 的光强
\(Ia=Ic\cdot S\left(CP,PA\right)\cdot T\left(CP\right)\cdot T\left(PA\right)\)
而我们知道 AB段 上有 N 个 P点
所以对于一个顶点，最终到达 摄像机的光强
\(Ia=Ic\cdot\sum_{n=1}^{N}S\left(CP,PA\right)\cdot T\left(CP\right)\cdot T\left(PA\right)\)
也就是说实际上我们只需要知道透射和散射函数就可以了
于是就轮到解释一些非常简单的物理公式
因为我们知道透射衰减实际上也是散射，我们只需要将所有角度的散射加起来（求球面积分）就可以得到衰减
所以来了解这次涉及到的两种主要散射，瑞利散射（Rayleight）和米氏散射（Mie）
瑞利散射，指光线在遇到比自身波长小的粒子时发生的散射，而且会更多地散射波长短的光，比如蓝光，所以我们能够看到地球表面有一层薄薄的蓝光
米氏散射，指光线在遇到和自身波长差不多或大一些的粒子时发生的散射，对所有所有波长的光都会同等散射，并且大部分光都会沿着原来原来的方向传播
所以光路的形成得于米氏散射，比如我们熟悉的丁达尔效应
瑞利散射函数公式
\(S\left(λ,θ,h\right)=\frac{\pi^{2}\left(n^{2}-1\right)^{2}}{2}\cdot\frac{ρ\left(h\right)}{H_{0}}\cdot\frac{1}{λ^{4}}\left(1+\cos^{2}θ\right)\)
其中 n 为空气折射系数 1.00029
ρ(h) 为密度比率，在海平面为 1，随高度增加指数下降
H0 为标准大气的分子数密度 2.504*10^25
而我们对散射函数进行球面积分，就得到了透射函数
\(β\left(λ,h\right)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}S\left(λ,θ,h\right)\cdot\sinθ\cdot dθ\cdot dφ=\frac{8\pi^{3}\left(n^{2}-1\right)^{2}}{3}\cdot\frac{ρ\left(h\right)}{H_{0}}\cdot\frac{1}{λ^{4}}\)
下面我们对透射函数和散射函数进行拆解，这是计划的一部分（为了方便计算和编写）